2.09. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной.

Общий вид ЛДУ 1-го порядка

, (1)

Где и - заданные непрерывные функции.

Заметим, что если , то уравнение (1) является однородным. В связи с этим уравнение (1) называется линейным неоднородным.

Рассмотрим два метода решения ЛДУ 1-го порядка.

1. Метод Бернулли.

Будем искать решение уравнения (1) в виде произведения двух неизвестных функций . Имеем

. (2)

Подберем функцию Так, чтобы , откуда . Тогда уравнение (2) приводится к виду . Откуда

. (3)

Окончательно,

. (4)

1. Метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной).

Рассмотрим ЛОДУ . Его общее решение имеет вид

. (5)

Будем считать постоянную произвольной дифференцируемой функцией , т. е. и подставим решение (5) в ЛНДУ (1). Получим . Откуда и общее решение имеет вид (4).

Замечание. Заметим структуру общего решения ЛДУ 1-го порядка:

ОР ЛДУ = ОР ЛОДУ + ЧР ЛНДУ.

Такая структура решения имеет фундаментальное значение в теории ЛДУ произвольного порядка N.

Пример. Найти общее решение уравнения .

Ищем решение в виде . Тогда уравнение преобразуется к виду . Приравнивая скобку нулю и, решая уравнение , находим . Тогда уравнение преобразуется к виду . Интегрируя это уравнение, находим . Окончательно,

.

< Предыдущая		Следующая >