2.08. Уравнения, приводящиеся к однородным уравнениям

К таким уравнениям относятся уравнения вида

, (1)

Где - непрерывная функция.

Рассмотрим уравнение типа (1) на примере уравнения

. (2)

Предположим, что одновременно, т. к. в противном случае уравнение будет однородным. Сделаем замену , тогда и

. (3)

Выберем и так, чтобы выполнялись равенства

(4)

Тогда уравнение (2) приводится к однородному

. (5)

Замечание. Cистема (4) является системой линейных уравнений и возможна ситуация, когда ее определитель равен нулю:, т. е. не имеет решений. В этом случае и, следовательно, . Исходное уравнение (2) приводится к виду

. (6)

Подстановкой уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример 1. Найти общее решение уравнения .

Cделаем замену , получим . Выберем и так, чтобы выполнялись равенства находим . В результате уравнение преобразуется к однородному . Cделаем замену и уравнение преобразуется к виду . Разделяя переменные и, интегрируя, получим . Возвращаясь к "старым" переменным , окончательно имеем .