2.01. Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия, связанные с ДУ 1-го порядка
Дифференциальное уравнение 1-го порядка имеет вид
. (1)
Если уравнение (1) можно разрешить относительно производной, то его записывают в виде
. (2)
При этом функция задана на плоскости
В некоторой области D, как правило, непрерывна вместе с частной производной
.
Определение 1. Решением или частным решением уравнения (1) на некотором промежутке называется функция , имеющая на этом промежутке производную
и удовлетворяющая уравнению (1), т. е.
.
Определение 2. Oбщим интегралом или общим решением уравнения (1) называется равенство
Ф . (3)
Где - произвольная постоянная, а функция
непрерывно-дифференцируемая в некоторой области
и обладает свойством: если продифференцировать равенство (3) по
. (4)
И исключить из (3) и (4) константу , то получится уравнение эквивалентное уравнению (1).
Если уравнение (3) можно разрешить относительно , то
. (5)
Как следует из этого равенства, геометрически общее решение ДУ 1-го порядка представляет собой однопараметрическое семейство кривых на плоскости . Их называют интегральными кривыми уравнения (1) или (2).
Связь между общим и частным решениями ДУ (1) или (2) сформулируем в виде
Определение 3. Совокупность всех частных решений ДУ (1) образует его общее решение и наоборот, любое частное решение следует из общего при некотором значении постоянной в общем решении.
Это определение следует из теоремы:
Теорема. Пусть функция непрерывно-дифференцируемая в некоторой области
и является общим решением ДУ (1). Тогда, функция
есть решение ДУ (1) при некотором
, и обратно, всякое решение ДУ (1) удовлетворяет уравнению
при некотором
.
Необходимость. Пусть представляет собой общее решение ДУ (1). Зафиксируем
:
. Обозначим левую часть
. Дифференцируем это тождество по
, найдем
. Подставим эти значения в (4), получим
,
т. е. есть решение ДУ (1).
Достаточность. Пусть есть решение ДУ (1), следовательно, оно есть решение уравнения (4), т. e.
. Интегрируя это тождество по
в пределах от
до
, получим
Откуда, есть решение уравнения.
< Предыдущая | Следующая > |
---|