03.5. Простые и сложные высказывания

Высказывание — более сложное образование, чем имя. При раз­ложении высказываний на более простые части мы всегда получаем те или иные имена. Скажем, высказывание «Солнце есть звезда» включает в качестве своих частей имена «Солнце» и «звезда».

Высказывание — грамматически правильное предложение, взя­тое вместе с выражаемым им смыслом (содержанием) и являющееся ис­тинным или ложным.

Понятие высказывания — одно из исходных, ключевых понятий ло­гики. Как таковое оно не допускает точного определения, в равной мере приложимого в разных ее разделах.

Высказывание считается истинным, если даваемое им описание соот­ветствует реальной ситуации, и ложным — если не соответствует ей. «Исти­на» и «ложь» называются «истинностными значениями высказываний».

Из отдельных высказываний разными способами можно строить но­вые высказывания.

Например, из высказывания «Дует ветер» и «Идет дождь» можно об­разовать более сложные высказывания «Дует ветер, и идет дождь», «Либо дует ветер, либо идет дождь», «Если идет дождь, то дует ветер» и т. п.

Высказывание называется простым, если оно не включает других высказывании в качестве своих частей.

Высказывание называется сложным, если оно получено с помощью логических связок из других более простых высказываний.

Рассмотрим наиболее важные способы построения сложных выска­зываний.

Отрицательное высказывание состоит из исходного высказывания и отрицания, выражаемого обычно словами «не», «неверно, что». От­рицательное высказывание является, таким образом, сложным выска­зыванием: оно включает в качестве своей части отличное от него выска­зывание. Например, отрицанием высказывания «10 — четное число» является высказывание «10 не есть четное число» (или: «Неверно, что 10 есть четное число»).

Обозначим высказывания буквами А, В, С,. Полный смысл понятия отрицания высказывания задается условием: если высказывание А ис­тинно, его отрицание ложно, и если А ложно, его отрицание истинно. Например, так как высказывание «1 есть целое положительное число» истинно, его отрицание «1 не является целым положительным числом» ложно, а так как «1 есть простое число» ложно, его отрицание «1 не есть простое число» истинно.

Соединение двух высказываний при помощи слова «и» дает сложное высказывание, называемое конъюнкцией. Высказывания, соединяемые таким образом, называются «членами конъюнкции».

Например, если высказывания «Сегодня жарко» и «Вчера было холодно» соединить таким способом, получится конъюнкция «Сегодня жарко и вчера было холодно».

Конъюнкция истинна только в случае, когда оба входящих в нее вы­сказывания являются истинными; если хотя бы один из ее членов ложен, то и вся конъюнкция ложна.

В обычном языке два высказывания соединяются союзом «и», когда они связаны между собой по содержанию, или смыслу. Характер этой связи не вполне ясен, но понятно, что мы не рассматривали бы конъюнк­цию «Он шел в пальто, и я шел в университет» как выражение, имею­щее смысл и способное быть истинным или ложным. Хотя высказывания «2 — простое число» и «Москва — большой город» истинны, мы не склонны считать истинной также их конъюнкцию «2 — простое число, и Москва — большой город», поскольку составляющие ее высказыва­ния не связаны между собой по смыслу. Упрощая значение конъюнкции и других логических связок и отказываясь для этого от неясного понятия «связь высказываний по смыслу», логика делает значение этих связок одновременно и более широким, и более ясным.

Соединение двух высказываний с помощью слова «или» дает дизъ­юнкцию этих высказываний. Высказывания, образующие дизъюнкцию, называются «членами дизъюнкции».

Слово «или» в повседневном языке имеет два разных смысла. Иногда оно означает «одно или другое или оба», а иногда «одно или другое, но не оба вместе». Например, высказывание «В этом сезоне я хочу пойти на „Пиковую даму" или на „Аиду"» допускает возможность двукратного по­сещения оперы. В высказывании «Он учится в Московском или Ярослав­ском университете» подразумевается, что упоминаемый человек учится только в одном из этих университетов.

Первый смысл «или» называется неисключающим. Взятая в этом смысле дизъюнкция двух высказываний означает, что по крайней мере одно из этих высказываний истинно, независимо от того, истинны они оба или нет. Взятая во втором, исключающем, или строгом, смысле дизъюнк­ция двух высказываний утверждает, что одно из высказываний истинно, а второе — ложно.

Неисключающая дизъюнкция истинна, когда хотя бы одно из входящих в нее высказываний истинно, и ложна, только когда оба ее члена ложны.

Исключающая дизъюнкция истинна, когда истинным является толь­ко один из ее членов, и она ложна, когда оба ее члена истинны или оба ложны.

В логике и математике слово «или» почти всегда употребляется в не­исключающем значении.

Условное высказывание — сложное высказывание, формулируемое обычно с помощью связки «если., то.» и устанавливающее, что одно событие, состояние и т. п. является в том или ином смысле основанием или условием для другого.

Например: «Если есть огонь, то есть дым», «Если число делится на 9, оно делится на 3» и т. п.

Условное высказывание слагается из двух более простых выс­казываний. То из них, которому предпослано слово «если», называется основанием, или антецедентом (предыдущим), высказывание, идущее после слова «то», называется следствием, или консеквентом (после­дующим).

Утверждая условное высказывание, мы прежде всего имеем в виду, что не может быть так, чтобы то, о чем говорится в его основании, имело место, а то, о чем говорится в следствии, отсутствовало. Иными словами, не может случиться, чтобы антецедент был истинным, а консеквент — ложным.

В терминах условного высказывания обычно определяются понятия достаточного и необходимого условия: антецедент (основание) есть до­статочное условие для консеквента (следствия), а консеквент — необхо­димое условие для антецедента. Например, истинность условного выска­зывания «Если выбор рационален, то выбирается лучшая из имеющихся альтернатив» означает, что рациональность — достаточное основание для избрания лучшей из имеющихся возможностей и что выбор такой возможности есть необходимое условие его рациональности.

Типичной функцией условного высказывания является обоснование одного высказывания ссылкой на другое высказывание. Например, то, что серебро электропроводно, можно обосновать ссылкой на то, что оно металл: «Если серебро — металл, оно электропроводно».

Выражаемую условным высказыванием связь обосновывающего и обосновываемого (основания и следствия) трудно охарактеризовать в общем виде, и только иногда природа ее относительно ясна. Эта связь может быть, во-первых, связью логического следования, имеющей мес­то между посылками и заключением правильного умозаключения («Если все живые многоклеточные существа смертны, а медуза является таким существом, то она смертна»); во-вторых, законом природы («Если тело подвергнуть трению, оно начнет нагреваться»); в-третьих, причинной связью («Если Луна в новолуние находится в узле своей орбиты, насту­пает солнечное затмение»); в-четвертых, социальной закономерностью, правилом, традицией («Если меняется общество, меняется также чело­век», «Если совет разумен, он должен быть выполнен») и т. п.

Со связью, выражаемой условным высказыванием, обычно соединяет­ся убеждение, что следствие с определенной необходимостью «вытекает» из основания и что имеется некоторый общий закон, сумев сформулиро­вать который, мы могли бы логически вывести следствие из основания.

Например, условное высказывание «Если висмут — металл, он пластичен» как бы предполагает общий закон «Все металлы пластичны», делающий консеквент данного высказывания логическим следствием его антецедента.

И в обычном языке, и в языке науки условное высказывание кроме функции обоснования может выполнять также ряд других задач: форму­лировать условие, не связанное с каким-либо подразумеваемым общим законом или правилом («Если захочу, разрежу свой плащ»); фиксиро­вать какую-то последовательность («Если прошлое лето было сухим, то в этом году оно дождливое»); выражать в своеобразной форме неве­рие («Если вы решите эту задачу, я докажу великую теорему Ферма»); противопоставление («Если в огороде растет бузина, то в Киеве живет дядька») и т. п. Многочисленность и разнородность функций условного высказывания существенно затрудняет его анализ.

Употребление условного высказывания связано с определенными психологическими факторами. Обычно мы формулируем такое выска­зывание, только если не знаем с определенностью, истинны или нет его антецедент и консеквент. В противном случае его употребление кажется неестественным («Если вата — металл, она электропроводна»).

Условное высказывание находит очень широкое применение во всех сферах рассуждения. В логике оно представляется, как правило, пос­редством импликативного высказывания, или импликации. При этом логика проясняет, систематизирует и упрощает употребление «если., то.», освобождает его от влияния психологических факторов.

Логика отвлекается, в частности, от того, что характерная для услов­ного высказывания связь основания и следствия в зависимости от контек­ста может выражаться с помощью не только «если., то.», но и других языковых средств.

Например, «Так как вода жидкость, она передает давление во все стороны равномерно», «Хотя пластилин и не металл, он пластичен», «Если бы дерево было металлом, оно было бы электропроводно» и т. п. Эти и подобные им высказывания представляются в языке логики пос­редством импликации, хотя употребление в них «если., то.» было бы не совсем естественным.

Утверждая импликацию, мы утверждаем, что не может случиться, чтобы ее основание имело место, а следствие отсутствовало. Иными словами, импликация является ложной только в том случае, когда ее ос­нование истинно, а следствие ложно.

Это определение предполагает, как и предыдущие определения связок, что всякое высказывание является либо истинным, либо ложным и что ис­тинностное значение сложного высказывания зависит только от истинно­стных значений составляющих его высказываний и способа их связи.

Импликация истинна, когда и ее основание, и ее следствие истинны или ложны; она истинна, если ее основание ложно, а следствие истинно. Только в четвертом случае, когда основание истинно, а следствие ложно, импликация ложна.

Импликацией не предполагается, что высказывания А и В как-то свя­заны между собой по содержанию. В случае истинности В высказывание «если А, то В» истинно независимо от того, является А истинным или ложным и связано оно по смыслу с В или нет.

Например, истинным считаются высказывания: «Если на Солнце есть жизнь, то дважды два равно четыре», «Если Волга — озеро, то То­кио — большая деревня» и т. п. Условное высказывание истинно также тогда, когда А ложно, и при этом опять-таки безразлично, истинно В или нет и связано оно по содержанию с А или нет. К истинным относятся вы­сказывания: «Если Солнце — куб, то Земля — треугольник», «Если дважды два равно пять, то Токио — маленький город» и т. п.

В обычном рассуждении все эти высказывания вряд ли будут рассмат­риваться как имеющие смысл и еще в меньшей степени как истинные.

Хотя импликация полезна для многих целей, она не совсем согла­суется с обычным пониманием условной связи. Импликация охватывает многие важные черты логического поведения условного высказывания, но она не является вместе с тем достаточно адекватным его описанием.

В последние полвека были предприняты энергичные попытки ре­формировать теорию импликации. При этом речь шла не об отказе от описанного понятия импликации, а о введении наряду с ним другого по­нятия, учитывающего не только истинностные значения высказываний, но и связь их по содержанию.

С импликацией тесно связана эквивалентность, называемая иног­да «двойной импликацией».

Эквивалентность — сложное высказывание «А, если и только если В», образованное из высказываний А и В и разлагающееся на две импликации: «если А, то В», и «если В, то А». Например: «Треугольник является рав­носторонним, если и только если он является равноугольным». Термином «эквивалентность» обозначается и связка «., если и только если.», с по­мощью которой из двух высказываний образуется данное сложное выска­зывание. Вместо «если и только если» для этой цели могут использоваться «в том и только в том случае, когда», «тогда и только тогда, когда » и т. п.

Если логические связки определяются в терминах истины и лжи, экви­валентность истинна тогда и только тогда, когда оба составляющих ее вы­сказывания имеют одно и то же истинностное значение, т. е. когда они оба истинны и оба ложны. Соответственно, эквивалентность является ложной, когда одно из входящих в нее высказываний истинно, а другое ложно.

< Предыдущая		Следующая >