7.2. Виды отношений

1. Отношение эквивалентности

Отношение называется Отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Обозначение: .

Подмножество элементов из множества , эквивалентных некоторому , называется Классом эквивалентности. Каждому отношению эквивалентности на множестве соответствует некоторое разбиение множества на классы эквивалентности , такое, что

Пример 38. Пусть – множество натуральных чисел, а отношение – «иметь одинаковый остаток от деления на 3»:

В результате деления возможны остатки 0, 1 или 2. Следовательно, этому отношению эквивалентности соответствует разбиение множества на такие три класса эквивалентности И :

При этом и

2. Отношение порядка

Если элементы и множества сравнимы, т. е. или , или , то множество называется Упорядоченным, и говорят, что на множестве введено отношение порядка. Различают Отношения нестрогого порядка («») и Отношение строгого порядка («»).

Отношение нестрогого порядка обладает следующими свойствами:

А) рефлексивность: ,

Б) антисимметричность: если и , то ,

В) транзитивность: если и , то .

Отношение строгого порядка

А) антирефлексивно, так как высказывание ложно,

Б) несимметрично, так как высказывания и являются взаимоисключающими,

В) транзитивно, так как из неравенств и следует, что .

3. Отношение доминирования

Если из двух элементов и множества элемент в каком-то смысле превосходит элемент , то будем говорить, что доминирует над и обозначать это следующим образом: .

Очевидно, Отношение доминирования

А) антирефлексивно, так как высказывание ложно,

Б) несимметрично, так как являются взаимоисключающими высказывания и ,

В) отношение доминирования не транзитивно.

Рассмотрим следующие примеры.

Пример 39. Команда победила команду , команда победила команду . Совсем не обязательно, что команда победит команду , т. е. если , , то отсюда не следует, что .

Пример 40. Рассмотрим наборы из 4-х чисел: И Очевидно, не сравнимы.

Пример 41. Пусть отношение Если .

Прямые и разбивают плоскость на четыре области (рис. 10). Для координат точек имеют место соотношения: Но , , но , и . Это означает, что пара координат любой точки из области II доминирует над парой координат любой точки из области I, т. е. . Пара координат любой точки из области III не сравнима с парой координат любой точки из области IV . И, наконец, не всякую пару координат можно сравнить с парой координат или