6.1. Основные понятия теории множеств и теории нечётких множеств. Основные определения теории множеств

Рассмотрим понятия «множество», «отношение», «функция», на основе которых строится математический аппарат любой научной дисциплины.

Понятие множества. Под Множеством будем понимать совокупность вполне различимых объектов произвольной природы. Объекты, из которых состоит множество, называют Элементами множества. Для обозначения множества используют прописные буквы или прописные буквы с индексом . Для обозначения элементов множества используют строчные буквы или строчные с индексами .

Понятие принадлежности. Для того чтобы указать, что есть элемент множества , или, как говорят, принадлежит множеству , используют символ «»: . Запись означает, что не является элементом множества .

Для выражения принадлежности элемента множеству можно использовать Характеристическую функцию , значения которой указывают, является ли элементом множества :

Если число элементов множества конечно, то множество называется Конечным. Множество называется Бесконечным, если оно

содержит бесконечное число элементов. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется Пустым И обозначается символом .

Способы задания множества. Для того чтобы оперировать с конкретными множествами, надо уметь их задавать. Существуют два способа задания множеств: 1) перечисление его элементов, 2) описание множества.

Если – элементы множества , то это записывается таким образом: или . Иногда вводят дополнительно множество индексов , тогда пишут . Способом перечисления задаются конечные множества. Этот метод применим и для задания бесконечных множеств, например, множество , правда, лишь в том случае, когда известно, что понимается под многоточием.

Способ 2 задания множеств предполагает задание некоторого свойства, которым обладают все элементы множества. Так элементы множества являются нечётными натуральными числами.

Как правило, при задании конкретного множества ограничивается множество допустимых его объектов. Такую совокупность допустимых объектов называют Универсальным множеством. Универсальное множество будем обозначать через .

Характеристическая функция позволяет представить множество через все элементы множества с указанием для каждого из них значения функции принадлежности. Если число элементов универсального множества равно , то

.

Равенство множеств. Два множества и называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Из этого определения следует, что порядок элементов во множестве несущественен. Так, например, множества и равны, то есть представляют собой одно и то же множество.

Из определения множества следует также, что в нём не должно быть неразличимых элементов, поэтому совокупность Не является множеством и воспринимается как некорректная запись. Например, множеством простых делителей числа 40 является множество .

Понятие подмножества. Множество называется подмножеством множества , если всякий элемент множества является элементом множества . Принятое обозначение: .

Если есть необходимость указать, что множество содержит и другие элементы, кроме элементов множества , используют символ строгого включения: . Принято считать, что любое множество содержит в себе множество пустое в качестве подмножества, т. е. . Множество всех подмножеств множества обозначается как . Общее число всех возможных подмножеств -элементного множества равно . В это число подмножеств входит пустое множество и само множество . Множества и называются Несобственными подмножествами множества . Все остальные подмножества множества – собственные.

Пример 24. Если , то множество всех его подмножеств .

Взаимно однозначное соответствие между множествами. В некоторых задачах возникает необходимость сопоставлять элементы множеств. Если множества и конечны, то попарное соответствие между элементами множеств можно установить только в том случае, когда число элементов в этих множествах одинаково. Такое соответствие называется Взаимно однозначным.

Установление взаимно однозначных соответствий между бесконечными множествами вызывает определённые трудности, связанные с необходимостью оперировать с бесконечным числом элементов этих множеств. За основу для сопоставления бесконечных множеств принято брать множество натуральных чисел . Если бесконечное множество можно привести во взаимно однозначное соответствие с множеством , то такое множество называется Счётным, если это сделать невозможно, то множество – Несчётно. К счётным множествам относятся, например, множество целых чисел, множество рациональных чисел. Множество всех действительных чисел отрезка несчётно.

Мощность множества. Количество элементов конечного множества называется его Кардинальным числом. Определяя число элементов множества, говорят о его мощности. Тот факт, что множество конечно, а его кардинальное число равно , обозначается следующим образом: или . В этом случае говорят также, что мощность множества равна .

Бесконечные множества также могут различаться по мощности, при этом наименьшую мощность имеют счётные множества. Мощность множества действительных чисел отрезка называется Мощностью континуума, и превышает мощность любого счётного множества. Существуют множества, имеющие мощность больше, чем мощность континуума, но не существует множества с наибольшей мощностью, так как мощность множества всегда меньше мощности множества всех его подмножеств .

Верхняя и нижняя границы множества. Если универсальным множеством является множество действительных чисел , то элементы любого его подмножества можно сравнивать по их значению и, в частности, находить наибольший и наименьший элемент подмножества . Для конечных множеств, заданных перечислением его элементов, эта задача решается просто, а если множество задано правилом, по которому вычисляются числовые значения его элементов, то задача нахождения наибольшего и наименьшего элементов множества существенно усложняется.

Верхней границей множества является такое число , что .

Таких чисел для множества может быть бесконечно много, а может и вовсе не существовать. Например, множество не имеет верхней границы.

Точной верхней гранью или Супремумом Множества , обозначаемого , называется верхняя граница множества , которая не превосходит любую другую верхнюю границу этого множества.

Нижней границей множества является такое число , что .

Точной нижней гранью или Инфимумом Множества , обозначаемого , называется нижняя граница множества , не меньшая любой другой нижней границы множества.

Если , то , а .

< Предыдущая		Следующая >