5. Функции матричного аргумента

Мы уже знаем правила проведения линейных операций над матрицами, а также умножение матриц, возведение матрицы в любую целую степень. Какие ещё операции можно проводить над матрицами?

1. Извлечение корня из матрицы

Матрица такая, что , называется Алгебраическим корнем степени из матрицы и обозначается .

Степени и корни матрицы обладают теми же свойствами, что степени и корни чисел: и т. д.

2. Многочлен от матрицы

Пусть – многочлен степени от скалярной переменной . Такой многочлен называют скалярным многочленом. Если – квадратная матрица, то называется многочленом от матрицы. Очевидно, – квадратная матрица того же порядка, что и матрица .

Матрица и любой её многочлен перестановочны, т. е. если , то . Для большинства матриц справедливо и обратное утверждение: если квадратные матрицы и перестановочны, то одна из них (а чаще – каждая из них) является многочленом от другой, причём степень многочлена должна быть меньше, чем порядок этих матриц. Например, диагональные матрицы перестановочны и по операции сложения, и по операции умножения, т. е. если и – диагональные матрицы, то .

Введём обозначение для диагональной матрицы:

Тогда

3. Трансцендентные функции

Из теории рядов известны разложения в ряд Маклорена функций и т. д. Например,

(27)

Разложение (27) можно представить в виде

(28)

Или в виде 2-го замечательного предела:

. (29)

Из (28) и (29) переходя к матрицам, получим:

и (30)

Формулами (30) можно пользоваться, если эти пределы существуют. Однако могут возникнуть вычислительные сложности при возведении матрицы в степень.

Для диагональных матриц формулы (30) применимы всегда. К сожалению, в реальных задачах диагональные матрицы практически не встречаются. Однако, большую роль в технических приложениях играют матрицы, имеющие различные собственные значения, и симметрические матрицы, которые в результате преобразования подобия всегда могут быть приведены к диагональному виду.

Пусть в результате преобразования подобия из матрицы получена диагональная матрица : , откуда

(31)

Представление (31) матрицы обладает следующим свойством:

Т. е. оно сохраняет свой вид при возведении в любую степень.

Если то в случае многочлена от матрицы

В общем случае, если значения существуют, то:

(32)

Например, и при этом , но только, если матрицы и перестановочны.

Аналогично,

Если матрица невырожденная, то можно найти матричный тангенс и матричный котангенс , если матрица невырожденная.

Справедливо и основное тригонометрическое тождество: .

Пример 22. Найти , если .

Решение. Диагонализация матриц возможна с помощью преобразования подобия: , где – матрица из собственных векторов матрицы , – диагональная матрица, полученная из , т. е. . Найдём собственные значения матрицы :