4.3. Критерий Сильвестра

Задача преобразования квадратичной формы к каноническому виду является частью решения задачи квадратичного программирования – задачи поиска глобального экстремума целевой функции, представляющей собой сумму линейной функции и квадратичной формы, в области, границы которой заданы линейными уравнениями. Эта задача может быть успешно решена, если известно, что всякий локальный экстремум является одновременно и глобальным. А это, в свою очередь, зависит от характера знакоопределённости квадратичной формы.

Тот факт, что квадратичные формы подчиняются закону инерции, позволяет дать их Классификацию по характеру знакоопределённости.

Квадратичная форма (19) называется Положительно (отрицательно) определённой, если она принимает только положительные (отрицательные) значения при любых значениях , кроме , при которых квадратичная форма обращается в ноль.

Квадратичная форма (19) называется Неопределённой, если она для одних значений положительно определённая, а для других – отрицательно определённая.

В теории малых колебаний рассматривают одновременно две квадратичные формы, из которых одна задаёт потенциальную, а вторая – кинетическую энергию системы. Вторая форма всегда положительно определённая.

Характер знакоопределённости квадратичной формы (19) можно выяснить, если известны собственные значения её матрицы . Имеет место следующая

Теорема. Для того чтобы квадратичная форма (19) была положительно (отрицательно) определённой, необходимо и достаточно чтобы все собственные значения её матрицы были положительны (отрицательны).

Если квадратичная форма (19) произвольным образом приведена к каноническому виду (22), то она будет положительно (отрицательно) определённой, если для всех .

Нахождение собственных значений – задача не из лёгких. Этот сложный путь определения характера знакоопределённости квадратичной формы можно обойти, исследуя главные миноры матрицы .

Такой способ установления характера знакоопределённости квадратичной формы называется Критерием Сильвестра и состоит в следующем:

1) для того чтобы квадратичная форма (19) была положительно определённой необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры матрицы этой квадратичной формы были положительны:

2) для того чтобы квадратичная форма (19) была отрицательно определённой, необходимо и достаточно, чтобы знаки главных диагональных миноров матрицы этой квадратичной формы чередовались, начиная со знака «–» для , т. е.