3.2. Матрица линейного оператора
Выберем в линейных пространствах и
базисы
и
соответственно. Пусть в выбранных базисах
. Условия 1) и 2) линейности оператора
будут выполняться, если между координатами векторов
и
существует линейная зависимость:
(5)
Где – некоторые числа. Матрицу
называют Матрицей линейного оператора
. Из (5) следует, что линейное преобразование полностью определяется матрицей
.
Пусть – линейное пространство. Далее будем рассматривать операторы, действующие только из
в
, т. е. если
, то
.
Зададим линейный оператор . Выберем в
базис
. Запишем разложение в этом базисе произвольного элемента
тогда
Но образы базисных векторов
принадлежат пространству
значит, их также можно разложить по этому базису:
Матрица называется Матрицей линейного оператора
в базисе
. В
-м столбце этой матрицы стоят координаты элемента
в выбранном базисе. Таким образом, каждому линейному оператору
, соответствует квадратная матрица
-го порядка. Справедливо и обратное утверждение.
Равным операторам соответствует одна и та же матрица. Из равенства двух матриц следует равенство их линейных операторов.
Определим Связь между координатами образа и прообраза
.
Обозначим через и
– векторы-столбцы, составленные из координат векторов
и
соответственно в базисе
, тогда векторному равенству
соответствует матричное равенство
(6)
Где – матрица линейного оператора
в базисе
.
< Предыдущая | Следующая > |
---|