3.2. Матрица линейного оператора

Выберем в линейных пространствах и базисы и соответственно. Пусть в выбранных базисах . Условия 1) и 2) линейности оператора будут выполняться, если между координатами векторов и существует линейная зависимость:

(5)

Где – некоторые числа. Матрицу называют Матрицей линейного оператора . Из (5) следует, что линейное преобразование полностью определяется матрицей .

Пусть – линейное пространство. Далее будем рассматривать операторы, действующие только из в , т. е. если , то .

Зададим линейный оператор . Выберем в базис . Запишем разложение в этом базисе произвольного элемента тогда

Но образы базисных векторов принадлежат пространству значит, их также можно разложить по этому базису:

Матрица называется Матрицей линейного оператора в базисе . В -м столбце этой матрицы стоят координаты элемента в выбранном базисе. Таким образом, каждому линейному оператору , соответствует квадратная матрица -го порядка. Справедливо и обратное утверждение.

Равным операторам соответствует одна и та же матрица. Из равенства двух матриц следует равенство их линейных операторов.

Определим Связь между координатами образа и прообраза .

Обозначим через и – векторы-столбцы, составленные из координат векторов и соответственно в базисе , тогда векторному равенству соответствует матричное равенство

(6)

Где – матрица линейного оператора в базисе .

< Предыдущая		Следующая >