2.1. Линейные пространства. Основные определения

Пусть – множество вполне определённых и различимых объектов. Говорят, что множество имеет Структуру, если в нём определены некоторые операции над его элементами. Множество, наделённое структурой, называется Пространством. Так, например, Метрическим называется пространство, структура которого определяется тем, что каждой паре элементов ставится в соответствие некоторое вещественное число. Это число, называемое Метрикой, должно удовлетворять определённым свойствам. Мы вернёмся к этим понятиям в Главе 6.

К важным структурным свойствам множеств относится возможность получения одних элементов множества из других путём сложения или умножения на скаляр элементов множества.

Операции сложения и умножения элементов множества на скаляр в линейном пространстве должны удовлетворять следующим условиям:

1) для любых однозначно определяется элемент , который называется их суммой и при этом

в существует нулевой элемент

 для любого существует противоположный элемент :

2) для и произвольного числа в определён элемент , при этом

Множества с такими структурными свойствами называются Линейными пространствами.

Условия 1) и 2) называются условиями аддитивности и однородности линейного пространства , а само линейное пространство называется также Векторным. Элементы – точки или векторы линейного пространства. Если – вещественное число, то – вещественное линейное пространство; если – комплексное число, то – комплексное линейное пространство. Далее будем рассматривать только вещественные линейные пространства.

Пример 4. Приведём примеры множеств, элементы которых допускают выполнение введенных операций сложения и умножения на скаляр.

Линейное пространство образует множество:

1) матриц одинакового размера;

2) функций, непрерывных на заданном отрезке ;

3) многочленов степени, не превышающей натурального числа и др.

Из определения линейного пространства следует, что для любых и произвольных чисел величина . Рассмотрим произвольное конечное множество . Множество при произвольных также представляет собой линейное пространство и называется Линейным подпространством .

< Предыдущая		Следующая >