43. Закон инерции квадратичных форм

Квадратичную форму можно приводить к нормальному виду различными невырожденными линейными преобразованиями (преобразованиями координат). Возникает вопрос: как связаны между собой различные нормальные виды одной и той же квадратичной формы.

Пусть Ln – n-мерное линейное пространство над полем Р и пусть на нём задана квадратичная форма J(А). Пусть в Ln задан базис Е = (Е1, Е2, … , Еn) и пусть А – матрица данной формы в этом базисе. Пусть Е1 = (Е11, Е21, … , Еn1) – один из базисов, в котором J(А) имеет канонический вид, и Т Матрица перехода от базиса Е к базису Е1. В базисе Е1 форма J(А) имеет диагональную матрицу А1. По формуле (56) А1 = ТТ×А×Т. Матрицы Т И ТТ невырожденные. Умножение матрицы А На невырожденную матрицу не меняет ранга матрицы А, следовательно, rang A = rang A1, т. е. в любом базисе матрица квадратичной формы имеет один и тот же ранг.

Определение 63. Рангом квадратичной формы, заданной на линейном пространстве Ln называется ранг её матрицы в любом базисе этого пространства.

Так как ранг диагональной матрицы равен числу отличных от нуля диагональных элементов, то любой канонический вид данной квадратичной формы содержит одно и тоже число квадратов переменных с ненулевыми коэффициентами. Это число равно рангу формы. Следовательно, доказано утверждение :

Теорема 66. Комплексная квадратичная форма любым невырожденным линейным преобразованием приводится к одному и тому же нормальному виду, состоящему из R квадратов переменных с единичными коэффициентами, т. е. J = Х12 + Х22 + … + ХR2.

Если поле Р Есть поле действительных чисел, то нормальный вид квадратичной формы будет J(А) = Х12 + Х22 + … + Хк2 – Хк+12 – … – Хr2.

Определение 64. Число квадратов переменных, входящих с коэффициентом (+1) в нормальный вид действительной квадратичной формы, называется Положительным индексом инерции этой формы. Число квадратов с коэффициентом (–1) называется Отрицательным индексом инерции, разность между числом переменных и рангом квадратичной формы (т. е. N – R) называется её Дефектом.

Теорема 67 (Закон инерции квадратичных форм). Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится квадратичная форма с действительными коэффициентами действительным невырожденным линейным преобразованием, не зависит от выбора этого преобразования.

Доказательство. Пусть J(А) – квадратичная форма, заданная в базисе Е = (Е1, Е2, … , Еn) линейного пространства Ln Над полем R, А = Х1Е1 + Х2Е2 + … + ХnЕn. Пусть эта форма приведена двумя способами к двум нормальным видам. Согласно предыдущим результатам оба этих нормальных вида содержат одинаковое число квадратов переменных с ненулевыми коэффициентами. Пусть

J = У12 + У22 + … + Ук2 – Ук+12 – … – Уr2 =

= z12 + z22 + … + zр2 – zр+12 – … – zr2. (*)

Пусть Уі = , І = 1, 2, … , N (**), и Zј = , Ј = 1, 2, … , N (***).

Так как эти формулы задают невырожденные преобразования, то их определители отличны от нуля. Достаточно доказать, что К = р. Предположим, что К ¹ Р. Не нарушая общности, можно считать, что К < Р. Составим систему уравнений У1 = у2 = … = ук = zр+1 = … = zr = zr+1 = … = zn = 0. Это система N – р + К Линейных однородных уравнений от N неизвестных. Так как число уравнений меньше числа неизвестных, то она имеет ненулевые решения. Пусть (Х10, х20, … , хn 0 ) – одно из них. Подставив это решение в формулы (**) и (***), вычислим все Уі и Zј и подставим их в равенство (*). Получим –(Ук+10)2 – … – (Уr0)2 = (Z10)2 + (Z20)2 + … + (Zр0)2. Это равенство возможно тогда и только тогда, когда Ук+10 = … = Уr0 = Z10 = z20 = … = Zр0 = 0. Получили, что система Z1 = z2 = … = Zр = zр+1 = … = zr = zr+1 = … = zn = 0 имеет ненулевое решение (Х10, х20, … , хn 0 ), что невозможно, т. к. ранг этой системы равен N. Итак, наше предположение не верно. Следовательно, К = р.

< Предыдущая		Следующая >