42. Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью выделения полных квадратов

Пусть Ln – n-мерное линейное пространство над полем Р и пусть на нём задана квадратичная форма J(А) = . Если N = 1, то форма уже имеет канонический вид, поэтому рассуждение можно вести индукцией по числу переменных. Пусть форму можно привести к каноническому виду, если число переменных не более (N – 1). Докажем его для N переменных. Возможны два случая.

1) Все коэффициенты Aкк = 0. Если все коэффициенты равны 0, то можно считать, что форма имеет канонический вид. Поэтому пусть хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля. Не нарушая общности, можно считать, что A12 ¹ 0. Сделаем преобразование координат: Х1 = У1 – У2 , Х2 = У1 + У2 , Х3 = У3 , … , Хn = Уn . В новых координатах

J(А) = A12у12 – A12у22 + Y , где Y Не будет содержать У12 и У22, поэтому эти слагаемые ни с чем проведены быть не могут. Следовательно, достаточно рассмотреть случай

2) Хотя бы один коэффициент при квадратах переменных отличен от нуля. Пусть A11¹ 0. Соберём в форме J(А) все слагаемые, содержащие Х1, Вынесем A11 за скобки, дополним полученную скобку до полного квадрата и компенсируем сделанные добавки.

A11×() +

+ Y (Х2, Х3, … ,хn), где Y (Х2, Х3, … ,хn) – квадратичная форма от (N – 1) переменной. По предположению индукции форму Y (Х2, Х3, … ,хn) можно с помощью преобразования координат (Х2, Х3, … ,хn) привести к каноническому виду. Дополнив это преобразование формулой У1 = , получим, что J(А) = .

Рассмотрим этот способ упрощения квадратичной формы на примере.

Пример. Привести к каноническому виду квадратичную форму

1) J = 3Х12 + 5Х22 + Х32 – 6Х1х2 + 9Х1х3 – 7Х2х3 .

Решение. Коэффициент при Х12 отличен от нуля, поэтому соберём слагаемые, содержащие Х1 (они подчёркнуты), вынесем за скобки коэффициент при Х12 (т. е. 3) и дополним выражение в скобках до полного квадрата (за скобками компенсируем то, что добавили в скобках), получим

J = 3×(Х12 – 2Х1х2 + 3Х1х3 + Х22 + Х32 – 3Х2х3) – 3Х22 – Х32 + 9Х2х3 + 5Х22 + Х32 – 7Х2х3 =

= 3(Х1 – Х2 +Х3)2 +2Х22 –Х32 + 2Х2х3. Так как коэффициент при Х22 Отличен от нуля, То соберём слагаемые, содержащие Х2, вынесем коэффициент при Х22 за скобку и дополним выражение в скобках до полного квадрата. Получим

J = 3(Х1 – Х2 + Х3)2 +2(Х22 + Х2х3 + Х32) –Х32 –Х32 =3(Х1 – Х2 + Х3)2 + 2(Х2 + Х3)2 –Х32. Сделаем преобразование координат:

У1 = х1 – Х2 + Х3 , У2 = Х2 + Х3 , У3 = Х3. В новых координатах получим, что

J = 3У12 + 2У22 – У32.

Если квадратичная форма задана над полем действительных чисел, то сделав ещё одно преобразование координат: Z1 = У1, z2 = У2 , z3 = У3 , получим нормальный вид данной формы J = z12 + z22 – z32.

2) J = Х1х3 + 2Х2х3 + 4Х3х4 .

Решение. Так как данная квадратичная форма не содержит квадратов переменных, то сначала сделаем преобразование координат по формулам: Х1 =У1 – У3, х2 =У2, х3 =У1 + У3, х4= у4. Получим J = (У1– У3)( у1 + У3) + 2У2(У1– У3) + 4(У1 + У3)У4 = У12– У32 + 2у1у2 + 4у1у4 –2У2у3 + 4У3у4. Соберём слагаемые с У1 (коэффициент при У12 Равен 1, поэтому ничего за скобки выносить не надо). Получим J = (У12+ 2у1у2 + 4у1у4 + У22 +4У42+4У2у4) – У22– 4У42– 4У2у4 – У32– 2У2у3 + 4У3у4 = = (У1 + у2 + 2У4)2 – (У22 + 2У2у3 + 4У2у4 + У32 + 4У42 + 4У3у4) + У32+ 4У42 + 4У3у4 – 4У42– У32 + 4У3у4 = = (У1 + у2 + 2У4)2 – (У2 + У3 + 2У4)2 + 4У3у4. Для преобразования последнего слагаемого снова нужно положить У3 = z3 – z4, у4 = z3 + z4. Отсюда Z3 = , Z4 =. Итак, сделаем преобразование координат по формулам:

Z1 = у1 + у2 + 2У4 , z2 = у2 + У3 + 2У4 , Z3 = , Z4 =. В новых координатах

J = Z12 – z22 + 4Z32 – 4Z42.

Получили канонический вид данной квадратичной формы над полем действительных чисел.

< Предыдущая		Следующая >