38. Сопряженные линейные преобразования

Пусть J - линейное преобразование евклидова пространства Еn .

Определение 55. Линейное преобразование J*: Еn ® Еn называется Сопряжённым к преобразованию J, если для любых двух векторов А и В Из Еn выполняется условие

(А, J(В)) = (J*(А), В) (52)

Теорема 54. Матрицы сопряжённых преобразований Связаны формулой А = Г–1×(А*)Т×Г.

Пусть в ЕN зафиксирован базис Е = (Е1, Е2, ... , Еn), Г – матрица Грама, А – матрица преобразования J и А* – матрица J*. Если Х, У, у1 и Х* – столбцы координат векторов А, В, J(В) И J*(А)) соответственно, то (А, J(В)) = ХТ×Г× У1, (J*(А), В) = (Х*)Т×Г× у. Используя равенство (52), получим ХТ×Г× У1 = Х*×Г× у. Используя связь координат вектора и его образа (формула (36)), получим У1 = А×у, х* = А* × х. Подставим в предыдущее равенство:

ХТ×Г×(А×У) = (А*×х)Т×Г×у , ХТ×(Г×А)×У = ХТ×((А*)Т×Г)×У. Отсюда Г×А = (А*)Т×Г , или

А = Г–1×(А*)Т×Г (53)

Следствие 1. А* = Г–1×АТ×Г (54).

Доказательство. Из формулы (53) следует, что (А*)Т = Г×А×Г–1, А* = (Г–1)Т×АТ×ГТ. Так как Г – симметрическая матрица, то ГТ = Г. Следовательно, А* = Г–1×АТ×Г .

Следствие 2. Сопряжённость линейных преобразований взаимна.

Доказательство следует из формул 53 и 54.

Следствие 3. Если базис ортонормированный, то А* = АТ.

Доказательство следует из того, что в ортонормированном базисе Г = Е.

Пример. В базисе Е = (Е1, Е2, Е3 , Е4) пространства Е4 скалярное произведение задано Матрицей Грама Г = . Пусть А = – матрица линейного преобразования J в этом базисе. Найти матрицу сопряжённого преобразования.

Решение. Легко проверить, что Г удовлетворяет всем требованиям матрицы Грама. Используем формулу (54). Из неё А* = Г–1×АТ×Г. Нужно найти матрицу Г–1. Проверьте, что Г–1 = . Итак,

А* = × × = .

Теорема 55. Если некоторое подпространство L евклидова пространства ЕN инвариантно относительно линейного преобразования J, то ортогональное дополнение L^ инвариантно относительно сопряжённого преобразования J*.

Доказательство. Пусть А ÎL , В Î L^. Тогда из условия J(А) Î L следует, что (В, J(А)) = 0. Но (В, J(А)) = (J*(В), А). Следовательно, (J*(В), А) для любого вектора А ÎL. Следовательно, J*(В) Î L^ для любого вектора В Î L^. Но это и означает, что подпространство L^ инвариантно относительно J.

< Предыдущая		Следующая >