33. Матрица Грама в евклидовом пространстве

Пусть Еn – N-Мерное евклидово пространство и пусть Е = (Е1, Е2, ... , Еn ) – базис в нём. Так как в Еn для любой упорядоченной пары векторов определено их скалярное произведение, то определены скалярные произведения всех пар базисных векторов. Составим из них матрицу

Г = (41)

Матрица Г Называется Матрицей Грама Скалярного произведения для базиса Е. Используя матрицу Грама, можно получить формулу для вычисления скалярного произведения векторов,

Заданных координатами.

Пусть в базисе Е заданы векторы А = Х1Е1 + Х2Е2 + … + ХnЕn , В = У1Е1+ У2Е2 + … + УnЕn . Тогда (А, в) = (Х1Е1 + Х2Е2 + … + ХnЕn)×( у1Е1+ У2Е2 + … + УnЕn) = = Х Т×Г×У, где Х Т– строка координат вектора А, У – Столбец координат вектора В . Итак, (А, в) = Х Т×Г×У (42).

Свойства матрицы Грама.

10. Матрица Грама симметрична относительно главной диагонали.

Это следует из того, что (Ек, еS ) = (ЕS, ек ).

20. Диагональные элементы матрицы Грама строго положительны.

Это следует из того, что Ек ¹ 0 и, следовательно, (Ек, ек ) > 0.

30. Для матрицы Грама и любого N-Мерного столбца Х Выполняется условие Х Т×Г×Х > 0.

Это следует из 4-ой аксиомы определения скалярного произведения.

Симметрическую матрицу А, Удовлетворяющую условию Х Т×А×Х > 0 для любого

Ненулевого столбца Х, Называют Положительно определённой. Следовательно, матрица

Грама Положительно определённая.

40. Пусть Е = (Е1, Е2, ... , Еn ) и Е1 = (Е11, Е21, ... , Еn1 ) –два базиса в Еn , Г И Г1 – матрицы Грама данного скалярного произведения в базисах Е И Е1 соответственно. Пусть Т – матрица перехода от базиса Е К базису Е1. Тогда (А, в) = Х Т×Г×У, х = Т×х1, у = Т×у1, х Т= (Т×х1)Т= (Х1)Т× ТТ. Следовательно, (А, в) = ((Х1)Т× ТТ)× Г× (Т×у1) = (Х1)Т× (ТТ× Г× Т )× У1. Но (А, в) = (Х1)Т× Г1× у1. Отсюда

Г1 = ТТ× Г× Т (43)

Формула (42) даёт связь матриц Грама в разных базисах.

50. Определители матриц Грама во всех базисах имеют один и тот же знак.

Из формулы (43) следует ú Г1ú =ú ТТú ×úГú ×úТú = úГú ×úТú 2. Так как |Тú 2> 0, то ú Г1ú и ú Гú имеют одинаковые знаки.

60. Все главные миноры матрицы Грама строго положительны.

Примеры.

1. Во множестве М2 Квадратных матриц с действительными элементами скалярное произведение задано формулой . Найти матрицу Грама этого произведения в базисе Е1 = , Е2 = , Е3 = , Е4 = .

Решение. Найдём все попарные произведения базисных элементов: (Е1, е1) = 1, (Е1, е2) = (Е2, е1) = 0, (Е1, е3) = (Е3, е1) = 0, (Е1, е4) = (Е4, е1) = 0, (Е2, е2) = 1, (Е2, е3) = (Е3, е2) = 0, (Е2, е4) = (Е4, е2) = 0, (Е3, е3) = 1, (Е3, е4) = (Е4, е3) = 0, (Е4, е4) = 1. Следовательно,

Г = .

2. В пространстве R[Х] многочленов степени не выше 3-х скалярное произведение задано формулой , где A И B – фиксированные действительные числа, A < B. Составить матрицу Грама в базисе (1, Х, х2, х3).

Решение. Найдём все попарные произведения базисных элементов: (1, 1) = = B – A,

(1, Х) = (Х, 1) = = ), (1, Х2) = (Х2, 1) = = ), (1, Х3) = (Х3, 1) = = ), (Х, х) = = ), (Х, х2) = (Х2, х) = = ), (Х, х3) = (Х3, х) = = ), (Х2, х2) = = ), (Х2, х3) = (Х3, х2) = = ), (Х3, х3) = = ). Матрица Грама будет иметь вид:

Г = .

3. В базисе (Е1, е2, е3) пространства Е3 Скалярное произведение задано матрицей Грама Г = . Найти скалярное произведение векторов А = (1, –5, 4) и В = (–3, 2, 7).

Решение. Используя формулу (41), получим (А, В) = (1, –5, 4) × × = 7.

< Предыдущая		Следующая >