32. Евклидовы пространства. Скалярное произведение векторов, его свойства. Определение и примеры евклидовых и унитарных пространств

Пусть L –Линейное пространство над полем Р. В L определены две алгебраические операции: сложение векторов и умножение векторов на элементы поля Р, Введём ещё одну внутреннюю алгебраическую операцию, являющуюся обобщением скалярного произведения геометрических векторов. В основу определения этой операции положим те свойства скалярного произведения геометрических векторов, которые были получены в аналитической геометрии. При этом определения скалярного произведения в случае, когда поле Р Является полем действительных чисел, отличается от случая, когда Р = С.

Определение 43

А) Р = R Будем говорить, что в действительном линейном пространстве L Определено Скалярное произведение Векторов, если каждой упорядоченной паре векторов А и В Из L поставлено в соответствие число (А, в) Î R, удовлетворяющее следующим требованиям (Аксиомам скалярного произведения): 1. (А, в) = (В, а) для любых А И в Из L; 2. (А + в, С) = (А, с) + ( в, с) для любых А, в, с Из L; 3. (AА, в) = A(А, в) для любых А И в Из L И любого a Î R; 4. (А, а) > 0, если А ¹ 0; (А, а) = 0 Û А = 0.

Б) Р = С Будем говорить, что в комплексном линейном пространстве L Определено Скалярное произведение Векторов, если каждой упорядоченной паре векторов А и В Из L поставлено в соответствие число (А, в) Î С, удовлетворяющее следующим требованиям (Аксиомам скалярного произведения): 1. = для любых А И Из L; 2. (А + в, С) = (А, с) + ( в, с) для любых А, в, с Из L; 3. (AА, в) = A(А, в) для любых А И в Из L И любого a Î С; 4. (А, а) Î R и (А, а) > 0, если А ¹ 0; (А, а) = 0, если А = 0.

Скалярное произведение векторов можно обозначать (А, в) или А×в.

Свойства скалярного произведения.

А) Р = R 10. (А, AВ) = A(А, в) для любых А И в Из L И любого a Î R; 20. (A × А, B × в) = A×B (А, в) для любых А И в Из L И любых A , B Î Р; 30. (A × А + B × в, GС) = AG×(А, с) + BG(В, С) для любых А, в И С из L И любых A , B, G Î Р; 40. (А, 0) = 0 для любого вектора А ÎL.

Б) Р = С 10. (AА, в) = ×(А, в) для любых А И в Из L И любого a Î С; 20. (A × А, B × в) = A× (А, в) для любых А И в Из L И любых A , B Î С; 30. (A × А + B × в, GС) = A× (А, с) + B(В, С) для любых А, в И С Из L И любых A , B, G Î С; 40. (А, 0) = 0 для любого вектора А Î L.

Определение 44. Действительное линейное пространство, в котором определено скалярное произведение векторов, называется Евклидовым пространством.

Определение 45. Комплексное линейное пространство, в котором определено скалярное произведение векторов, называется Унитарным пространством.

Так как и евклидово и унитарное пространства являются линейными пространствами, то для них верно всё то, что было сказано об этих пространствах. Но введение скалярного произведения позволяет ввести в этих пространствах метрику. В частности N-мерное линейное пространство, в котором введено скалярное произведение векторов, называется N-мерным евклидовым (или Унитарным) Пространством. Евклидово N-мерное пространство будем обозначать ЕN (унитарное пространство - Un).

Примеры евклидовых пространств.

1. Пусть L – множество всех непрерывных на промежутке [a, b] действительных функций. Это множество является линейным пространством. Скалярное произведение определим по следующему правилу. Если F И G – две непрерывные на [a, b] функции, то пусть (F, G) = . Из свойств определённого интеграла следует, что все требования определения 43 (а) выполняются. Следовательно, если в пространстве всех непрерывных на промежутке [a, b] действительных функций ввести указанным способом скалярное произведение, то оно становится евклидовым пространством.

2. Пусть М2 – множество квадратных матриц с действительными элементами, это множество является линейным пространством на полем R. Определим скалярное произведение формулой . Легко проверить, что все требования определения 43 (а) выполняются. Множество М2 Стало евклидовым пространством.

3. Пусть М2 – множество квадратных матриц с комплексными элементами, это множество является линейным пространством на полем С. Определим скалярное произведение формулой . Легко проверит, что все требования определения 43 (б) выполняются. Получили пример унитарного пространства.

Определение 46. Множество М элементов евклидова пространства Е называется подпространством пространства Е, если оно само является евклидовым пространством относительно того же скалярного произведения, что и Е. Аналогично определяется подпространство унитарного пространства.

< Предыдущая		Следующая >