34. Введение метрики в евклидовом пространстве

Пусть Еn – N-Мерное евклидово пространство. Скалярное произведение вектора самого на себя назовём Скалярным квадратом этого вектора, т. е. (А, а) = А2. По 4-ой аксиоме скалярного произведения А2 ³ 0.

Определение 47. Длиной вектора называется арифметическое значение квадратного корня из скалярного квадрата этого вектора. т. е. ú Аú = (44)

Свойства длины вектора:

1. Любой вектор А имеет длину и только одну, ú Аú ³ 0.

2. ú A×Аú = úaú×ú Аú для любого А Î Еn .

3. Для любых векторов А и В из Еn верно неравенство ú А×вú £ú Аú ×ú Вú.

Доказательство. (А – aВ)2 = А2 – 2a(А, в) + a2×В2 ³ 0 для любого a Î R. Так как квадратный трёхчлен неотрицателен при любом значении a, то его дискриминант неположителен, т. е. (А, в)2 – А2× В2 £ 0, или (А, в)2 £ А2× В2. Отсюда ú А×вú £ú Аú ×ú Вú (45). Знак равенства в этой формуле будет тогда и только тогда, когда векторы пропорциональны.

Определение 48. Вектор единичной длины называется единичным вектором Или Ортом.

40. Для любого ненулевого вектора существует пропорциональный с ним орт.

Если А ¹ 0, то ú Аú ¹ 0. Следовательно, существует вектор А0 = А. Очевидно, ú А0ú =1.

Определение 49. Углом между ненулевыми векторами а И называется такое действительное число J , что (46).

Угол между векторами А И Можно также обозначать .

Свойства углов.

10. Для любых двух ненулевых векторов угол между ними определён.

Из формулы (45) следует, что Следовательно, J Существует.

20. Если a ¹ 0, b ¹ 0, то .

Определение 48. Два ненулевых вектора называются Ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Ортогональные векторы обозначаются А ^ в.

30. Если А ^ в, A ¹ 0, B ¹ 0, то (AА)^ (BВ).

40. Если А ^ в и А ^ с и В + С ¹ 0, то А ^ ( В + С).

Определение 50. Множество всех векторов пространства Еn, ортогональных вектору А, к которому добавлен нулевой вектор, называется Ортогональным дополнением вектора а.

50. Ортогональное дополнение к вектору А является (N – 1)-мерным евклидовым подпространством в Еn .

Доказательство.

Из свойств 30 и 40 следует, что рассматриваемое множество L является линейным подпространством в Еn . Так как в Еn определено скалярное произведение, то оно определено и в ортогональном дополнении, следовательно, L Является евклидовым подпространством. Кроме того, С Î L Û (А, С) = 0 (*). Зафиксируем в Еn базис. Пусть А = (А1, а2, … , аn), С = (Х1, х2, … , хn). Тогда С Î L Û А Т×Г×х = 0 (**). Уравнение (**) есть линейное однородное уравнение с N неизвестными. Фундаментальная система его решений состоит из (N – 1) решения. Следовательно, пространство решений уравнения (**) является (N – 1)-мерным.

Пусть Ек – подпространство пространства Еn. Обозначим ЕМножество, состоящее из нулевого вектора и всех векторов, ортогональных любому ненулевому вектору из Ек .Иными словами С Î Е Û (С, А) = 0 для всех А Î Ек . Пространство Е ортогональным дополнением к пространству Ек .

60. Ортогональное дополнение Е Является (N – к)-мерным евклидовым подпространством в пространстве Еn .

Доказательство Аналогично доказательству свойства 50.

70. ЕÇ Ек = {0}.

80. Любые два ортогональных вектора линейно независимы.

Доказательство. Пусть А ^ в. По определению эти векторы ненулевые. Предположим, что они линейно зависимы, т. е. существует такая ненулевая пара A, B Действительных чисел, что A×А + B×В = 0. Если A ¹ 0, То умножим обе части последнего равенства скалярно на вектор А. Получим A×А2 + B×(А, В) = 0. Так как (А, В) = 0 и А2 ¹ 0 , то A = 0. Противоречие. Следовательно, А И В линейно независимы.

90. Если А1, а2, … , Ак и В1, в2, … , Вs – две системы линейно независимых векторов и каждый вектор первой системы ортогонален любому вектору второй, то система векторов А1, а2, … , Ак , В1, в2, … , Вs линейно независима.

Теорема 42. Для любого К (1 £ К £ N ) Еn = ЕÅ Ек .

Доказательство. Пусть (Е1, Е2, ... , Ек ) – базис в Ек и (Ек +1, Е к + 2, ... , Еn ) – базис в Е. Из свойства 90 следует, что (Е1, Е2, ... , Ек, ек +1, Е к + 2, ... , Еn ) будет линейно независимой. Так как в ней N Векторов, То это базис в Еn . Следовательно, Еn = Е+ Ек . Из свойства 70 следует Еn = ЕÅ Ек .

Пусть Еn = ЕÅ Ек . Если А – любой вектор из Еn , то А = А1 + а2, где А1 Î Ек , А2 Î Е. Вектор А1 Называется Проекцией Вектора А на подпространство Ек . Вектор А2 называется Ортогональной составляющей Вектора А.

< Предыдущая		Следующая >