26. Матрица линейного оператора. Связь координат вектора и его образа

Пусть Ln и Lm – линейные пространства над полем Р И J: Ln ® Lm линейный оператор. Зафиксируем в Ln и Lm базисы Е = (Е1, Е2, … , Еn ) и F = (f1, f2, … , fm ) соответственно. Если J(Е) = (J(Е1), J(Е2), … , J(Еn)), То все векторы J(Ек) Î Lm . Выразим их через базис F.

(31)

Матрица А =

Называется Матрицей оператора J в паре базисов Е и F .

Формулы (31) можно записать в матричном виде: J(Е) = F×А (32)

Пусть А – произвольный вектор из Ln и J(А) – его образ в Lm . Пусть Х – столбец координат этого вектора в базисе Е и Х1 – столбец координат вектора J(А) в базисе F . Тогда А = Е× Х , J(А) = J(Е) ×Х, J(А) = F×х1. Следовательно, J(Е) ×Х = F×х1. Используя (32), получим (F×А)×Х = F×х1, или f×(А×Х) = F×х1. Отсюда Х1 = А×Х (33).

Следствие. Если в линейных пространствах Ln и Lm зафиксированы базисы, то каждому линейному оператору, действующему из Ln в Lm соответствует единственная матрица размерности M´n С элементами из поля Р.

Теорема 34. Если в линейных пространствах Ln и Lm зафиксированы базисы, то каждая матрица размерности M´n С элементами из поля Р является матрицей одного и только одного линейного оператора, действующего из Ln в Lm .

Доказательство. Пусть дана матрица А = с элементами из поля Р И пусть Ln и Lm – линейные пространства над полем Р. Зафиксируем в Ln и Lm базисы Е = (Е1, Е2, … , Еn ) и F = (f1, f2, … , fm ) соответственно. В пространстве Lm Зададим векторы А1 = (A11, A21, … , Am1), А2 = (A12, A22, … , Am2), … , Аn (A1n, A2n,… , Amn ). Если искомый линейный оператор существует, то должно быть J(Ек) = Ак для любого К = 1, 2, … , N . По теореме 31 такой оператор существует и только один.

Следствие. Между множеством линейных операторов, действующих из Ln в Lm , и множеством матриц размерности M´n С элементами из поля Р устанавливается взаимно однозначное соответствие.

Если в Ln и Lm зафиксированы базисы Е = (Е1, Е2, … , Еn ) и F = (f1, f2, … , fm ), то при сложении линейных операторов складываются соответствующие им матрицы. Если линейный оператор умножить на элемент поля Р, то на этот элемент умножится и соответствующая матрица.

Следствие. Линейное пространство линейных операторов, действующих из Ln в Lm , изоморфно линейному пространству матриц размерности M´n С элементами из поля Р.

Следствие. Размерность линейного пространства линейных операторов, действующих из Ln в Lm , равна M×n.

< Предыдущая		Следующая >