17. Подпространства линейных пространств

Определение 22. Подпространством линейного пространства Называется такое множество его элементов, которое само является линейным пространством над тем же полем.

Теорема 14. Непустое множество элементов В Ì L является линейным подпространством в L Тогда и только тогда, когда для любых двух элементов В1 и В2 из В И любого lÎ Р Выполняются условия: В1 + В2 Î В И l×В1 Î В.

Доказательство. Þ Если В – линейное подпространство, то условия теоремы, очевидно, выполнены.

Ü Если условия теоремы выполняются, то возьмём любой элемент В Î В. Тогда (–1)×В = –В принадлежит В. Итак, в В Для каждого элемента есть противоположный. Но тогда и В + (–В) тоже принадлежит В, т. е. 0 Î В. Остальные требования определения 14 выполняются очевидно. Следовательно, В – линейное пространство над тем же полем, что и L.

Примеры линейных подпространств.

1. Пусть А1, а2, … , Ак – любая система векторов из L. Множество всех линейных комбинаций этих векторов (т. е. элементов вида a1А1 + a2А2 + … + aкАк) называется Линейной оболочкой Данной системы векторов и обозначается áА1, а2, … , акñ, или L(А1, а2, … , ак). Линейная оболочка любой конечной системы векторов из L Является линейным подпространством в L.. Одним из базисов линейной оболочки является максимальная линейно независимая подсистема системы А1, а2, … , Ак. Следовательно, размерность линейной оболочки равна рангу этой системы.

2. Множество многочленов степени не выше К (К £ n) с коэффициентами из поля Р является линейным подпространством в пространстве многочленов степени не выше N.

3. Множество компланарных геометрических векторов является линейным подпространством в пространстве всех геометрических векторов трёхмерного евклидова пространства.

4. Нулевой вектор является линейным подпространством в том линейном пространстве, которому он принадлежит.

5. Множество диагональных матриц порядка N является линейным подпространством во множестве квадратных матриц порядка N.

Пусть А И В – два линейных подпространства пространства L .

Определение 23. Суммой подпространств А И В называется множество всех возможных элементов вида А + В, где А Î А, В Î В. (Обозначение А + В)

Теорема 15. Сумма линейных подпространств из L Есть линейное подпространство из L.

Доказательство. Пусть А1 + В1 И А2 + В2 – любые Два элемента из А + В. Тогда (А1 + В1) + (А2 + В2) = (А1 + А2) + (В1 + В2) Î А + В, так как А1 + А2 Î А, В1 + В2 Î В. Кроме того l×(А + В) = l×А + l×В Î А + В, так как l×А Î А, l×В Î В. Следовательно, по теореме 14 сумма А + В является линейным подпространством в L.

Теорема 16. Пересечение линейных подпространств из L Есть линейное подпространство из L.

Доказательство Проведите самостоятельно.

Теорема 17. Размерность суммы двух линейных подпространств равна сумме размерностей слагаемых минус размерность их пересечения.

Доказательство. Пусть С = А + В, где А И В Линейные подпространства пространства L. Пусть D = А Ç В. Выберем базис D = (D1, d2, … , dК) В подпространстве D и дополним его векторами Е = (Е1, е2, … , еm) И F = (F1, f2 … , fs) так, чтобы система (Е1, е2, … , еm , d1, d2, … , dК) была базисом в подпространстве А, а система (D1, d2, … , dК, f1, f2 … , fs ) была базисом в В. Покажем, что система (Е1, е2, … , еm, d1, d2, … , dК , f1, f2 … , fs) является базисом в подпространстве С. Если С Î С, то С = А + В. Так как А Î А, то А есть линейная комбинация векторов систем Е и D. Так как В Î В, то В есть линейная комбинация векторов систем D И f . Но тогда С линейно выражается через векторы Е, D И f . Остаётся показать, что система векторов (Е1, е2, … , еm , d1, d2, … , dК , f1, f2 … , fs) линейно независима. Для этого рассмотрим a1Е1 + A2Е2 + … + amЕm + b1D1 + b2D2 + ... + bкDк + g1F1 + g2F2 + … + gsFs = 0. Вектор А = a1Е1 + A2Е2 + … + amЕm + b1D1 + b2D2 + ... + bкDк лежит в подпространстве А. Но в то же время А = – g1F1 – g2F2 – … – gsFs . Следовательно, А Î В. Итак, А Î D . Если бы А Не был нулевым вектором, то он не мог бы выражаться через векторы системы F. Следовательно, – g1F1 – g2F2 – … – gsFs = 0. Так как векторы системы F линейно независимы, то g1= g2= …= gs = 0. Но тогда a1Е1 + A2Е2 + … + amЕm + b1D1 + b2D2 + ... + bкDк = 0. Так как система векторов (Е, d ) линейно независима, то отсюда следует, что a1 = a2 = … = am = b1 = b2 = … = bк = 0. Итак, система (Е1, е2, … , еm, d1, d2, … , dК , f1, f2 … , fs) является базисом в подпространстве С. Отсюда dim C = M + K + S = (M + K) + (K + S) – K = dim A + dim B – dim D .

< Предыдущая		Следующая >