18. Изоморфизм линейных пространств

Определение 24. Два линейных пространства L и L1 над одним и тем же полем Р называются Изоморфными, если существует такое взаимнооднозначное отображение j: L ® L1, что для любых векторов А и в из L И любого элемента l Î Р Выполняются условия: j(А + в) = j(А) + j(В), j(lА) = lj(А).

Отображение j называется Изоморфизмом.

Определение 24 можно заменить следующим эквивалентным определением.

Определение 25. Два линейных пространства L и L1 над одним и тем же полем Р называются Изоморфными, если существует такое взаимнооднозначное отображение j: L ® L1, что для любых векторов А и в из L И любых элементов l, m Î Р Выполняется условие: j(lА + mВ) = lj(А) + mj(В).

Свойства изоморфизма.

1. j(0) = 01, где 0 И 01 – нулевые вектора в пространствах L и L1 соответственно.

2. Если А1, а2, … , Ак – любая система векторов из L И j(А1) = А11, J(А2) = А21, … , j(Ак) = Ак1, то j(a1А1 + a2А2 + … + aкАк) = a1А11 + a2А21 + … + aкАк1.

3. Если А1, а2, … , Ак –линейно независимая система векторов из L И j(А1) = А11, J(А2) = А21, … , j(Ак) = Ак1, то система векторов А11, а21, … , Ак1 – линейно независима в L1.

4. Если А1, а2, … , Ак –линейно зависимая система векторов из L И j(А1) = А11, J(А2) = А21, … , j(Ак) = Ак1, то система векторов А11, а21, … , Ак1 – линейно зависима в L1.

5. Если L – N-Мерное линейное пространство, то L1 – тоже N-мерное линейное пространство.

6. При изоморфизме образом любого базиса из L Является базис из L1.

Примеры изоморфных пространств.

1. Арифметическое линейное пространство Аn над полем Р Изоморфно пространству многочленов степени не выше (N – 1) с коэффициентами из поля Р.

2. Пространство квадратных матриц порядка N с элементами из поля Р изоморфно арифметическому линейному пространству размерности N2 Над полем Р.

< Предыдущая		Следующая >