12. Линейные пространства. Алгебраические операции

Пусть дано некоторое множество М. Будем говорить, что на множестве М задана Внутренняя алгебраическая операция, если задан закон (правило), по которому каждой упорядоченной паре элементов А и В из М Ставится в соответствие вполне определённый элемент С. Если при этом для любой пары элементов А, в Из М Соответствующий элемент С всегда тоже принадлежит М, то М Замкнуто относительно Данной операции.

Пусть даны два множества М и К. Будем говорить, что на множестве М Задана Внешняя алгебраическая операция, если задан закон, по которому для каждой пары элементов А Î М, В Î К Ставится в соответствие вполне определённый элемент С Î М.

Сложение и умножение действительных чисел – примеры внутренних алгебраических операций на множестве действительных чисел. Умножение вектора на действительное число – пример внешней алгебраической операции на множестве векторов трёхмерного евклидова пространства.

Пусть на множестве элементов Р Определены две внутренние алгебраические операции: сложение и умножение: при сложении каждой упорядоченной паре элементов А и В из Р Взаимнооднозначно соответствует элемент С Î Р (С = а + в); при умножении тоже каждой упорядоченной паре элементов А и В из Р Взаимнооднозначно соответствует элемент С Î Р (С = а×в).

Определение 12. Множество элементов Р называется Полем, если на нём заданы две алгебраические операции: сложение и умножение, удовлетворяющие следующим требованиям (аксиомам):

1. Р Замкнуто относительно обеих операций;

2. А + в = в + а для любых элементов А И В Из Р (коммутативный закон для сложения);

3. (А + в) + С = а + (В + с) для любых элементов А, В И С Из Р (ассоциативный закон);

4. $ 0 Î Р такой, что А + 0 = а для любого А Î Р;

5. для любого А Î Р существует (-А) Î Р такой, что А + (-А) = 0;

6. А×в = в×а Для любых элементов А И В Из Р (коммутативный закон);

7. (А×в)×с = а×(В×с) для любых элементов А, В И С Из Р (ассоциативный закон);

8. $ е Î Р такой, что Е×а = а Для любого А Î Р (Е Называется единицей и обозначается 1);

9. для любого А Î Р существует А-1Î Р такой, что А×а-1 = е (А-1 – Обратный элемент для А);

10. (А + в)×с = а×с + в×с для любых элементов А, В И С Из Р.

Примерами полей являются множество рациональных чисел ( R ), множество действительных чисел (Q ), множество комплексных чисел (С ).

< Предыдущая		Следующая >