13. Определение и примеры линейных пространств

Пусть даны множество элементов L и поле Р. Элементы из L будем называть Векторами. В качестве поля Р будем использовать поле действительных (иногда – комплексных) чисел. Векторы будем обозначать А, в, …; элементы из Р - a, b, l, …

Определение 13. Множество элементов L называется Линейным (векторным) пространством над полем Р, если на L определены две алгебраические операции: сложение векторов и умножение их на элементы поля Р, удовлетворяющие следующим условиям:

1. L замкнуто относительно обеих операций;

2. А + В = в + А для любых А и В из L.;

3. (А + в) + С = а + (В + С) для любых элементов А, В и С из L;

4. $ 0 Î L Такой, что А + 0 = А для любого А Î L;

5. для любого А Î L Существует (-А) Î L Такой, что А + (-А) = 0;

6. 1×А = А для любого А Î L;

7. (a×b)×А = a×(b×А) для любого А Î L и любых a, b Î Р ;

8. (a + b)×А = a×А + b×А для любого А Î L и любых a, b Î Р ;

9. a×(А + В) = a×А + a×В для любых А и В из L и любого a Î Р (дистрибутивный закон).

Примеры: I. L = í0ý, Р – любое поле.

II. Множество всех коллинеарных геометрических векторов.

III. Множество всех компланарных геометрических векторов.

IV. Множество всех возможных геометрических векторов трёхмерного евклидова пространства.

V. Множество всех многочленов степени не выше N С действительными (комплексными) коэффициентами.

VI. Множество всех многочленов с действительными (комплексными) коэффициентами.

VII. Множество всех действительных непрерывных на отрезке [Ав] функций.

< Предыдущая		Следующая >