10. Умножение квадратных матриц одного порядка

Произведение любых двух квадратных матриц одного порядка всегда определено. При умножении двух квадратных матриц n-го порядка получится матрица того же порядка.

Теорема 7. Определитель произведения квадратных матриц одного порядка равен произведению определителей сомножителей.

Доказательство. Пусть А = , В = . Составим

С =

Матрицу С и вычислим её определитель двумя способами. Сначала используем теорему Лапласа, разложив его по первым N Строкам. Получим |С| = |А|×|В|. Для вычисления вторым способом преобразуем матрицу С, Используя те преобразования, которые не меняют определитель. К (N +1)-му столбцу матрицы С прибавим 1-ый столбец, умноженный на , 2-ой столбец, умноженный на , … , N-Ый столбец, умноженный на .

Тогда в (N +1)-м столбце на первых N Местах будут стоять элементы первого столбца матрицы А×В, А на остальных местах – нули.

С1 =

Продолжая аналогичные преобразования с (N +2)-м и т. д. столбцами, получим матрицу С1. Здесь Скр – элементы произведения А×В. Очевидно, |С1| = |С|. Определитель матрицы С1 вычислим, разлагая его (по теореме Лапласа) по последним N Строкам. Получим |С| = (-1)n×(-1)к×|А×В|, где к = 1 + 2 + …+ n + + (n + 1) + … + 2n = (2n + 1 )×n. Так как (2n + 1 )×n + + n = 2(n + 1 ), то |С| = |АВ |. Итак, |АВ | = |А|×|В| (12).

Если |А| ¹ 0, то матрица А Называется Невырожденной, если же |А| = 0, то матрица А Вырожденная. Из теоремы 7 следует, что произведение двух невырожденных квадратных матриц одного порядка есть невырожденная матрица того же порядка, если же одна из матриц вырожденная, то их произведение – тоже вырожденная матрица.

Квадратная матрица Е = называется Единичной матрицей. Легко проверить, что Е×А = А×Е для любой квадратной матрицы А, Имеющей тот же порядок, что и Е. Очевидно, |Е| = 1.

Определение 11. Матрица В Называется Правой Обратной для матрицы А, если В×А= Е И Левой обратной для А, если А×В = Е.

Возникает вопрос, всякая ли квадратная матрица имеет левую или правую обратную матрицу. Если В – левая или правая обратная матрица, то (по теореме 7) |В|×|А| = |А|×|В| = 1, т. е. матрица А Не может быть вырожденной.

Пусть А Квадратная невырожденная матрица, найдём алгебраические дополнения для всех её элементов. Составим новую матрицу А* следующим образом: алгебраические дополнения элементов К-ой строки матрицы А поставим в К-ый столбец матрицы А*, Т. е. А* = . Матрица А* называется Присоединённой для матрицы А. По правилу умножения матриц и свойствам определителя получаем, что

А×А*= А*×А = = |А|×Е.

Так как |А| ¹ 0, то матрица В = Существует и А×В = В×А = Е, т. е. матрица В является и левой и правой обратной матрицей для матрицы А. Эта матрица называется Обратной матрицей для А и обозначается А-1. Итак, получили

Теорема 8. Для всякой квадратной невырожденной матрицы существует обратная матрица. Обратная матрица перестановочна с данной матрицей и вычисляется по формуле

А-1= (13)

Пример 4. Найдите обратную матрицу, если А = .

Решение. Найдём |А| = 10 + 12 + 0 – 0 + 4 + 12 = 36.

Составим присоединённую матрицу, для этого вычислим алгебраические дополнения. А11 = = 14, А12 = = - 6, А13 = = 3, А21 == 8, А22 = = 2, А23 = = -1, А31 = = 28, А32 = = 16, А33 = = 11. Используя теорему 8, получим А-1 = .

< Предыдущая		Следующая >