3.2.4. Примеры решения задач по теме «Векторное и смешанное произведения»

Задача 1.

Найти модуль вектора [A – 3B, 2A + B], если |A| = 6, |B| = 7, а угол между векторами А и B равен 30о.

Указание

Векторное произведение коллинеарных векторов равно нулю, поэтому

[A, а] = 0.

Операция векторного умножения некоммутативна,

[B, А] = - [A, B]

Решение

Используя свойства векторного произведения, получим:

[A – 3B, 2A + b] = 2[A, A] – 6[B, A] + [A, b] – 3[B, b] = 2·0 + 6[A, b] + [A, b] – 3·0 =

= 7[A, b].

Следовательно, |[A – 3B, 2A + b]| = 7|[A, b]| = 7 |A| |B| sin φ = 7·6·7·0,5 =147.

Ответ: |[A – 3B, 2A + b]| = 147.

Задача 2.

Известно, что |A| = 2, |B| = 10 и |[A, B]| = 12. Найти скалярное произведение Ab.

Указание

Поскольку |[A, B]| = |A| |B| sin J, можно найти sin J, а затем с помощью основного тригонометрического тождества вычислить cos J.

Решение

Поскольку |[A, B]| = |A| |B| sin J, где J – угол между векторами A И B, получаем:

12 = 2·10·sin J, откуда sin J = 0,6. Тогда cos2J = 1 – sin2J = 0,64.

Если угол между векторами A И B острый, то cos J = 0,8, и Ab = 2·10·0,8 = 16; если же этот угол тупой, то cos J = -0,8, и Ab = -16.

Ответ: Ab = +16.

Задача 3.

Найти координаты векторного произведения векторов A = {3; 2; 1} и

B = {-1; 1; -2}.

Указание

Воспользуйтесь формулами для координатной записи векторного произведения:

Решение

Ответ: [A,B] = {-5; 5; 5}.

Задача 4.

Даны точки А(1; -1; 2), В(5; -6; 2), С(1; 3; -1). Найти площадь треугольника АВС.

Указание

Рассмотрите векторы

Модуль векторного произведения [AB, AC] равен площади параллелограмма АВМС, построенного на них как на смежных сторонах, а площадь треугольника АВС равна половине площади АВМС.

Решение

Рассмотрим векторы

Модуль векторного произведения [AB, AC] равен площади параллелограмма АВМС, построенного на них как на смежных сторонах, а площадь треугольника АВС равна половине площади АВМС.

Рис. 7

Ответ: 12,5.

Задача 5.

Даны векторы A = {4; -1; 2} и B = {1; 1; -3}. Найти координаты векторного произведения [A – 4B, B].

Указание

Воспользуйтесь тем, что

Решение

Ответ: {1; 14; 5}.

Задача 6.

Даны векторы A = {2; -1; 1}, B = {3; 3; 4} и С = {2; 0; 2}. Найти координаты вектора D, если известно, что он перпендикулярен векторам A и B, а скалярное произведение Dc = -8.

Указание

Векторное произведение [A, B] перпендикулярно обоим сомножителям,

То есть [A, B] перпендикулярен А и B.

Решение

Векторное произведение [A, B] перпендикулярно обоим сомножителям,

То есть [A, B] перпендикулярен А и B.

Следовательно, вектор D || [A,B], поэтому координаты вектора D Пропорциональны координатам [A,B].

Пусть D = {-7K; -5K; 9K}, тогда Dc = -7K ·2 + 9K ·2 = 4K = -8.

Следовательно, K = -2, и D = {14; 10; -18}.

Ответ: D = {14; 10; -18}.

Задача 7.

Вычислить объем тетраэдра, вершины которого находятся в точках

А(2; 2; 2), В(3; 1; 5), С(0; 4; 3), D(5; 0; 7).

Указание

Модуль смешанного произведения векторов AB, AC, AD равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на смежных ребрах.

Решение

Модуль смешанного произведения векторов AB, AC, AD равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на смежных ребрах. У треугольной пирамиды ABCD высота равна высот параллелепипеда, а площадь основания вдвое меньше площади основания параллелепипеда. Поэтому

Рис. 8

Ответ: .

< Предыдущая		Следующая >