33.Размерности циклических прямых слагаемых. Вид матрицы нильпотентного пре­образования в жордановом базисе

Разложение из теоремы 1 не единственно однако общее число слагаемых (ненулевых) в прямой сумме и их размерности находятся однозначно.

Лемма 6:

Если пространство R Двумя способами разлагается в прямую сумму циклических подпространств то число (ненулевых) слагаемых в обоих разложениях одинаково.

Доказательство:

Пусть (3) где Dim, Dim,

Рассмотрим Т. к.

, поэтому (По следствию 4 из леммы 1)

То же самое справедливо и для .По лемме 1 имеем Dim, Тогда Или N-P=N-S откуда P=S #.

Теорема 2: Пусть подпространство R двумя способами (3) разлагается в прямую сумму подпространств, циклических относительно нельпотентного оператора А. Тогда число слагаемых T какой-либо размерности K одинаково в обоих разложениях.

Доказательство: Доказываем методом математической индукции по размерности циклических подпространств.

1) Пусть K1 – минимальная из размерностей циклических подпространств ZI иUI, т. е. . Пусть для определенности в левой части равно T1 слагаемых размерности K1. Применим оператор Ak; получим .

В левой части (P-T1) ненулевых слагаемых, согласно Лемме 6 в правой части будет столько же ненулевых слагаемых. Значит, и в правой части (3) будет равно T1 cлагаемых размерности K1 (По следствию 5 из Леммы 1).

2) Пусть утверждение доказано для размерностей меньших чем (K-1) т. е. (K-1>K1).

3) Докажем справедливость утверждения для размерности K. Пусть левая часть (3) содержит T подпространств с размерностью K. На соотношение (3) подействуем оператором Ak:

Эта операция занулит все слагаемые с размерностями (По следствию 5 из Леммы 1). Тогда по

Лемме 6 число ненулевых слагаемых в последнем равенстве с размерностями больше K будет одинаково. Тогда количество слагаемых с размерностями меньше или раво K будет в (3) также одинаково. По предположению индукции число слагаемых в правой части с размерносттью K будет равно T. #

Вид матрицы нипотентного преобразования в жордановом базисе.

Определение 5: (По Леммам 4,5).

Система векторов (2) – базис в корневом подпространстве R, который является объединением циклических базисов ZI. Этот базис называется жордановым базисом подпространства R для нильпотентного оператора A.

Пусть А – нильпотентный оператор , Z – его циклические подпространства, dim Z = R.

Выберем в качестве базиса в подпространстве Z следующий : при этом и рассмотрим - инвариантное подпространство). Тогда матрица оператора в этом базисе имеет вид (4) - это квадратичная матрица порядка R

Возьмем теперь в корневом подпространстве R базис (2). Тогда, так как - инвариантное подпространство, то матрица А оператора А будет иметь вид , где - жорданова клетка вида (4) порядка HI = dim ZI = RI + 1.

< Предыдущая		Следующая >