31.Жордановы цепочки, Нахождение начальных векторов цепочек

Пусть R- фиксированное корневое подпространство линейного оператора и A=(I ) индекс i зафиксируем и опустим. Таким образом имеем A:R где A нильпотентное преобразование dimR=n, l - показатель нильпотентности (l)

Цель : Доказать что R = Z Z….Z , где Z (i =) циклические относительно нильпотентного оператора А подпространства dimZ=K. Отметим что V=R, где для этого построим циклические базисы объединение которых даёт базис корневого подпространства R. Пусть для некоторого x И ( k+1=l ). Обозначим таким образом - циклический базис причём - собственный вектор нильпотентного оператора т. е.

Определение 3:

Пусть - собственный вектор нильпотентного оператора, а векторы удовлетворяют условию: тогда эти векторы наз-ся 1-ым, 2-ым,…,k-ым присоединенным к Векторами. При этом говорят что векторы Образуют Жорданову цепочку с началом (т. е. -начало Жордановой цепочки).

Замечание 3:

Любой циклический базис состоит из собственного вектора и присоединенных к нему векторов (т. е. является началом цепочки из (K+1) вектора ó И .

Доказательство:

Необходимость:

Пусть - собственный вектор => по Следствию1 . Запишем также => кроме того т. к. в этом случае существовал бы (K+1) Присоединённый вектор.

Достаточность:

Пусть => собственный вектор т. к. , то , тогда циклический базис Даёт нужную цепочку #

Нахождение начальных векторов Жордановых цепочек

Из Леммы2 вытекает следующее определение : где i =(l – показатель нильпотентности оператора А). Определённые таким образом подпространства Играют весьма значительную роль в построении цепочек Жордана. Очевидно Подпространство корневого подпространства R (здесь I) индекс i зафиксирован и опущен)

Лемма 3:

ImИ Im где l - показатель нильпотентности оператора

Доказательство:

Т. к., то Im , т. к. l - показатель нильпотентности оператора А то очевидно что т. е. Im, а поэтому #

Алгоритм построения базиса (E0) в подпространстве KerA из собственных векторов:

Строим базис (E0) в подпространстве KerA Из собственных векторов связанных с (1):

1. В Выбираем какой-нибудь базис.

2. Добавим из векторы л. н.з с предыдущими из и л. н.з. между собой затем добавляем векторы из и. т.д. вплоть до . Таким образом вектор из Может быть включён в базис если только базис уже пополнен на предыдущем шаге в подпространстве

3. Последними если это потребуется добавим те л. н.з. векторы из KerA Которые не лежат в ImA . Тогда получим базис в KerA Этот базис состоит из собственных векторов полученных на основе алгоритма (условия 1-3 )

< Предыдущая		Следующая >