30.Нильпотентные преобразования. Свойства нильпотентных операторов

Определение 1:

Линейный оператор A (матрица А) называется нильпотентным (нильпотентной), если такое что ( (=+). Здесь +-нулевая матрица; (-нулевой оператор (См. §1 Гл.1 и §2 Гл.2 соответственно).

Наименьшее (min) такое что: называется показателем (степенью) нильпотентности оператора (матрицы).

Свойства нильпотентных преобразований:

10)Все собственные значения нильпотентного оператора A равны 0.

Доказательство:

Пусть Х – собственный вектор нильпотентного оператора A , L-показатель нильпотентности, тогда =(Х=θ=И т. к. Х θ, то #

Следствие 1:

Если A - нильпотентный оператор, то Ker A={все собственные векторы оператора A}{ θ }.

Доказательство:

Вытекает из определения нильпотентного оператора и свойства 1 #

20)Пусть A - нильпотентный оператор и Выполняется θ и = θ тогда векторы Л. н.з.

Доказательство:

Векторы - корневые векторы оператора A, принадлежащие одному и тому же собственному значению (т. к. A – нильпотентный оператор, см. Свойство ) с попарно-различными высотами k, k-1,…,2,1.

По Лемме 2 §2 настоящей главы указанные векторы являются л. н.з. #

Следствие 2:

Любой набор векторов оканчивающийся ненулевым вектором, л. н.з.

Доказательство:

Указанный набор векторов является л. н.з.,как подсистема л. н.з векторов: (см. Свойство 20, K-1) #.

Следствие 3:

Показатель нильпотентности

Доказательство:

В противном случае если L>N(Например L=n+1) в пространстве Л. н.з. вектор , чего быть не может #.

→ Если L- показатель нильпотентности, то минмальный многочлеен .

Доказательство:

1) анулирует оператор ,т. е.;

2) Пусть R < L (L - показатель нильпотентности, R – Степень минимального многочлена) и . Предположим, что анулирует нильпотентный оператор , тогда, с одной стороны, ӨӨ. С другой стороны Ө,(т. к.Анулирует ), но по свойству векторы - л. н.з. = θ, получили противоречие, поэтому R=L #

Определение 2:

Пусть A - нильпотентный оператор и Ө, = Ө.

Линейная оболочка Z=L() называется подпространством циклическим относительно оператора A (см. §4гл. III). Будем говорить, что циклическое подпространство z порождается элементом (вектором) X. По свойству 20 векторы л. н.з. и образуют в циклическом подпространстве Z базис. Этот базис наз-ся циклическим базисом, порождаемым вектором X (dim Z = K).

Лемма 1:

Пусть z –циклическое подпространство, порождаемое вектором X и dim Z = K>2. Тогда A(Z) – циклическое подпространство, порождаемое вектором Ax и dim A(Z) = K-1.

Доказательство:

Пусть – произвольный вектор в циклическом подпространстве Z.

Т. к. = θ, то

По свойству векторы –л. н.з. составляют базис в подпространстве (Z). Поэтому (Z) – циклическое подпространство, порождаемое вектором X и dim (Z) = K-1. #

Следствие 4:

Циклическое подпространство Z инвариантно относительно нильпотентного оператора .

Доказательство:

(z)=. #

Следствие 5:

, где ={Ө} – нулевое пространство (формально (=Ө) ),

Z=L() – циклические подпространства инвариантны относительно нильпотентного опреатора .

Доказательство:

Применить K раз Следствие 4. #

Вывод:

Пусть все вещественные значение линейного оператора с кратностями соответственно и – соответствующие корневые подпространства. По теореме 2 §2 настоящей главы . Возьмем (E) – базис пространтства V, состоящий из базисов корневых подпространств . Тогда непосредственно из определения матрицы оператора следует, что матрица лин. оператора в базисе (E) имеет блочно-диагональный (или клеточно диагональный) вид:

Здесь – квадратные матрицы порядков – соответственно (по теореме 2 §2 dim , причем (смотри замечание 2) явл-ся матрицами ограничений оператора на инвариантном подпространстве (по-другому индуцированного оператора на инвариантном подпространстве ).

Замечание 1:

Пусть A - нильпотентный оператор, с показателем нильпотентности K. Тогда циклическое подпространство . Рассмотрим индуцированный нильпотентный оператор на инвариантном циклическом подпространстве, тогда его матрица в базисе имеет вид:

А в базисе имеет вид:

Рассмотрим лин. оператор . По Теор. 1 §2 настоящей главы корневое подпространство инвариантно относительно лин. оператора . Введем следующий лин. оператор , где – корневое подпространство, отвечающее корню характеристич. Уравнения кратности . По определению , – нильпотентный оператор степени