28.Многочлен от матрицы и линейного оператора

Пусть - линейный оператор; - квадратная матрица порядка N ;

- произвольный базис в рассматриваемом пространстве V.

Степень матрицы А определяется обычным образом ; . Кроме того можно записать , где P и Q - целые неотрицательные числа.

Определение: Если - многочлен (целая рациональная функция) то многочленом от матрицы А называется квадратная матрица .

Определение: Многочленом от линейного оператора φ называется линейный оператор , где ; , кроме того (здесь Ix=X) и, очевидно, что .

Следствие:

Доказательство:

Следует из Определения произведения 2-х операторов. #

В силу изоморфизма (взаимооднозначного соответствия) линейных операторов φ и квадратных матриц А из следуют равенства и .

Определение: Говорят, что многочлен P(T) аннулирует линейный оператор φ (матрицу ), если .

Рассмотрим линейное пространство квадратных матриц порядка N, , пусть A0 - произвольная квадратная матрица порядка N, тогда матрицы будут л. н.з., если такие что . Это означает, что многочлен P(T) аннулирует матрицу A0.

Отсюда вытекает, что существует многочлен минимальной (min) степени, аннулирующий матрицу A0.

Определение: Минимальным многочленом матрицы А ( или линейного оператора φ) называется многочлен наименьшей степени со старшим коэффициентом равным 1, аннулирующий данную матрицу А (оператор φ).

Обозначение:  или соответственно.

Лемма: Пусть многочлен и квадратная матрица порядка N, связаны соотношением P(λ)E=(A- λE)C(λ), где , где - квадратные матрицы порядка N. Тогда P(A)=0.

Доказательство: Без доказательства.

Теорема: Всякий аннулирующий многочлен делится нацело на минимальный многочлен.

Доказательство:

Пусть P(T) - аннулирующий многочлен, тогда P(A)=0. Разделим P(T) на с остатком, т. е. , здесь Q(T) - частное, R(T) - остаток. Отметим, что (здесь deg - степень). Запишем: , т. е. R(T) - аннулирует матрицу А.

Отсюда вытекает, что , т. к. в противном случае () получили бы, что R(T) имеет степень меньшую, чем , чего не может быть, поэтому . #

Следствие: Минимальный многочлен единственен.

Доказательство:

Пусть и два минимальных многочлена. Они одинаковой степени, делятся нацело друг на друга и имеют коэффициенты при старшей степени равные единице. Поэтому очевидно, они совпадают. #

Отметим, что в любом базисе , при этом .

Теорема (Гамельтона-Келли): Всякий линейный оператор φ и его матрица аннулируется своим характеристическим многочленом .

Доказательство:

Рассмотрим матрицу (A-λE). Известно, что матрица обратная к данной имеет вид , где C(λ) - матрица из алгебраических дополнений (N-1)–го порядка относительно λ матрицы (A-λE).

Здесь , где .

Запишем: или . Умножая последнее равенство слева на получим: . Т. к. C(λ) - многочлен степени не выше (N-1) относительно λ, то взяв согласно Лемме получим, что . #

Следствия:

1) делится нацело на .

2) Т. к. корни минимального многочлена являются подмножеством корней характеристического многочлена (собственных значений оператора), то минимальный многочлен также разлагается на линейные множители.

< Предыдущая		Следующая >