20.Унитарные (ортогональные) матрицы и их свойства. Переход от одного ортонормированного базиса к другому

Определение:

Квадратная матрица с комплексными (вещественными) переменными наз-ся:

1) Нормальной, если , где .

2) Ермитовой (симметричной), если

3) Унитарной (ортогональной), если , т. е. .

Пусть - произвольный ОНБ в пространстве V и матрица Ae - унитарная (ортогональная) т. е. , здесь .

1) Определитель унитарной (ортогональной) матрицы по модулю равен 1.

Доказательство (для унитарной матрицы):

Т. к. (См. Следствие 1 §5. Главы I).

То и тогда или , , отсюда т. е. . #

2) Матрица Ae унитарна (ортогональна) тогда и только тогда, когда ее строки (столбцы) нормированы и попарно ортогональны, т. е. для строк: , для столбцов:

Доказательство (для унитарной матрицы):

Матрица Ae - унитарная где

или .

или

Доказательство для ортогональной матрицы аналогично

3) Произведение унитарных (ортогональных) матриц есть унитарная (ортогональная) матрица

Доказательство:

Пусть , , тогда

4) Пусть и - два ОНБ в пространстве U (или E). Тогда матрица перехода от базиса E к базису является унитарной (ортогональной)

Доказательство:

Запишем , тогда или где

Из единственности обратной матрицы следует, что - унитарная матрица. #

< Предыдущая		Следующая >