18.Самосопряженный оператор и его свойства

Определение:

Лин. оператор A, действующий в унитарном U (евклидовом E) пр-ве наз-ся самосопряженным, если

Свойства:

Пусть - линейный оператор и .

1) Пусть - произвольный ОНБ в унитарном пространстве. Линейный оператор А является самосопряженным тогда и только тогда, когда Ae - Эрмитова матрица.

Доказательство:

Аналогично доказательству Свойства 5 нормальных операторов. #

2) Все собственные значения самосопряженного оператора, действующего в унитарном пространстве – вещественны.

Доказательство:

Пусть и . Тогда , . Получаем или т. е. #

Следствие: Все собственные значения эрмитовой матрицы, вещественны (т. к. самосопряженному оператору в ОНБ отвечает эрмитова матрица).

3) Собственные векторы самосопряженного оператора, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.

Доказательство:

Следует из Свойства 4 нормальных операторов, т. к. самосопряженный оператор является частным случаем нормального оператора. #

4) Если подпространство инвариантно относительно самосопряженного оператора А, то его ортогональное дополнение также инвариантно относительно оператора А.

Доказательство:

Следует из Свойства 6 сопряженных операторов и из того, что . #

< Предыдущая		Следующая >