16.Сопряженный оператор и его свойства. Матрица сопряженного оператора

Пусть A: V→V – линейный оператор, где V=U или V=E.

Определение:

Оператор Наз-ся сопряженным к оператору A, если .

Теорема:

Каждый линейный оператор A имеет единственный сопряженный оператор . Оператор также является линейным.

Доказательство:

(для V=U)

скалярное произведение явл-ся полуторалинейной формой в унитарном пр-ве U следовательно по теореме о представлении полуторалинейной формы существует единственный линейный оператор такой, что . По определению сопряж. Оператора #

Замечание: Аналогично теорема доказывыается и для V=E.

Свойства сопряженного оператора:

1. , здесь I – тождественный оператор. 2.

3. 4. 5. Если существует , то

6. Если подпространство инвариантно относит. оператора A, то подпространство инвариантно относит. сопряж. оператора .

Доказательства свойств (V=U):

1) #

2) =

= #

3) , отсюда из рав-ва операторов следует #

4) следовательно

5) если существует , то .

или , след-но #

6) Существует , тогда и , но след-но

#

Пусть – ОНБ в унитарн. пр-ве U: – матрица опер. A, – матр. сопряж. оператора . Найдем связь между и .

По определению матрицы лин. оператор , тогда запишем

Итак, , аналогично можно записать . Запишем

, т. е. – матрица сопряж. опер. .

< Предыдущая		Следующая >