15.Линейные, полуторалинейные и билинейные формы в евклидовом и унитарном пространствах

Определение:

Линейной формой в линейном пространстве V (унитарном или евклидовом) называется числовая функция f(x) векторного аргумента х, которая удовлетворяет следующим условиям (

1.f(x+y)=f(x)+f(y)

2.f(X)= F(x)

В евклидовом пространстве Е линейная форма принимает действительные значения (т. е. f:E), в унитарном пространстве U – комплексные значения (т. е. f:E).

Теорема (о представлении линейной формы):

Пусть f(x): - линейная форма в унитарном пространстве U. Тогда ./здесь х – произвольно, H – фиксированно/.

Доказательство:

Пусть - ОНБ в унитарном пространстве U и х =, тогда f(x) = f. Полагая получим что f(x)=, где

Докажем единственность элемента H методом от противного, т. е. пусть существует еще один элемент такой что f(x)=(x, h). Тогда откуда (x, h - )=0. Полагая Х = H - , получим (h - , h - )=#

Следствие: Если

Замечание:Аналогичная теорема верна и для евклидова пространства Е.

Ранее была введена билинейнаяформа в вещественном пространстве. Тогда можно говорить о билинейной форме в евклидовом пространстве. Её аналогией в унитарном пространстве является полуторалинейная форма.

Определение:

Комплексная числовая функция B(X,Y) называется полуторалинейной формой в унитарном пространсте U, если справедливо:

1. B(X+У,z)=B(X, z)+B(Y, z).

2. B(x, y+z)=B(X, y)+B(X, z).

3. B(X, y)=B(X, y)

4. B(x,Y)=B(X, y)

Определение:

Полутаролинейная форма B(x, y) называется эрмитовой(эрмитовосиметрической), если

Замечание:

В евклидовом пространстве эрмитовость переходит в симметричность: B(x, y)=B(y, x), здесь B(x, y) – симметрическая билинейная форма.

Пусть B(x, y) – полуторалинейная форма в унитарном пространстве U,

,

,

Тогда B(x, y)=

Определение:

Матрица элементы которой равны называется матрицей полуторалинейной формы B(x, y) в базисе . B(x, y)=- общий вид полуторалинейной формы в унитарном пространстве.

Теорема (о представлении полуторалинейной формы):

Пусть B(x, y) - полуторалинейная форма в унитарном пространстве U. Тогда линейный оператор такой что B(x, y)=(х, Ау).

Доказательство:

При фиксированном полуторалинейная форма B(x, y) является линейной формой по теореме о представлении линейной формы Одновременно получаем что соответствует некоторой элемент и притом единственный (по теореме о представлении линейной формы), следовательно существует отображение такое что h=Ay B(x, y)=(x, h)=(х, Ау).

Докажем линейность оператор А. С одной стороны B(x, y+z)= B(x, y)+ B(x, z)=(х, Ау)+ (х, Аz)=(x, Ay+Az). С другой стороны B(x, y+z)= (x, A(y+z)), откуда получаем (x, Ay+Az)= (x, A(y+z)) Ay+Az = A(y+z). Аналогично доказывается, что А - линейный оператор. Докажем единственность линейного оператора А методом от противного, т. е. пусть существует еще один линейный оператор , такой что B(x, y)=(x,

Y). Тогда из определения равенства операторов следует что А= #

Замечание:

Аналогичная теорема верна и для билинейной формы в евклидовом пространстве.

< Предыдущая		Следующая >