13.Ортонормированный базис. Процесс ортогонализации по Гильберту — Шмидту

Определение:

Базис в пространстве называется ортонормированным (ОНБ), если

Здесь если и ; . Корректность последнего определения следуетиз теоремы

Теорема:

Система попарно ортогональныхи ненулевых элементов является л. н.з.

Доказательство: Выясним условия выполнения равенства θ

Для этого обе части данного равенства умножаем скалярно на один из элементов данной системы

, здесь

Отсюда следует, что , но т. к. θ, то . В силу произвольности выбора эл-та , получаем, что ─ л. н.з. #

Итак, для ОНБ эл-ты матрицы Грама равны , т. е. (здесь ─ единичная матрица). Отсюда

в ОНБ евклидова пространства :

в ОНБ унитарного пространства .

Теорема Гильберта-Шмидта (об ортогонализации базиса):

Во всяком -мерном унитарном (евклиловом) пространстве существует ОНБ.

Доказательство: произвольный базис в пространстве ( или ). Докажем, что можно построить в-в , которые линейно выражаются через и образуют ОНБ. Будем доказывать методом матматической индукции.

1) Если имеется один в-р , то для построения в-ра с нормой, равной единице достаточно нормировать в-р :

2) теперь предположим, что утверждение доказано для в-в , которые линейно выражаются через в-ры , являются единичными и попарно ортогональными.

3) Рассмотрим в-р , (*)

Здесь , т. к. в-ры линейно выражаются через в-ры и если бы θ, то получили бы линейную зависимость базисных в-в , что невозможно.

Выберем так, чтобы , .

Для этого рав-во (*) умножаем скалярно на , получаем

Таким образом, если , то можно положить,

. Тем самым построен -ый в-р #

Замечание: Алгоритм построен ОНБ по формулам , где называется процессом ортогонализации Гильберта-Шмидта

< Предыдущая		Следующая >