1.1.5. Свойства операций над множествами. Алгебра множеств

Операции È и Ç обладают свойствами, аналогичными сумме и произведению чисел. В связи с этим их зачастую также называют суммой и произведением множеств и обозначают соответственно , вместо и . Действительно, для любых множеств A, B И C Справедливы следующие равенства:

1)			Закон двойного дополнения
2)		}	Законы коммутативности
3)
4)		}	Законы ассоциативности
5)
6)		}	Законы дистрибутивности
7)
8)		}	Законы де Моргана
9)
10)		}	Законы идемпотентности
11)
12)		}	Законы универсального множества
13)
14)		}	Законы пустого множества
15)
16)		}	Законы поглощения
17)

В справедливости этих законов легко убедиться с помощью диаграмм Эйлера-Венна, изобразив отдельно множества, соответствующие левой и правой части равенства, и проверив, что они совпадают.

Например, для иллюстрации закона 7) имеем:

Заштриховано

Заштриховано дважды

Строгое доказательство всех равенств основано на проверке включений Í и Ê. Например, для доказательства закона 9) нужно проверить:

9а)

9б)

Доказательство 9а). Пусть . Тогда . Значит, и , то есть и , и поэтому .

Доказательство 9б). Пусть . Тогда и . Следовательно, и . Поэтому и, значит, .

Определение. Совокупность всех подмножеств универсального множества U (такая совокупность называется Булеаном множества U) вместе с операциями È, Ç, и , обладающими вышеперечисленными свойствами, называется Булевой алгеброй множеств.

Заметим, что в результате операций È, Ç, и над любыми подмножествами из U также получаются подмножества из U. В этом случае говорят, что указанные операции замкнуты на U.

Можно показать, что множество соотношений 1) – 15) полно в том смысле, что любое правильное равенство, образованное при помощи символов Æ, U, È, Ç, , букв латинского алфавита, обозначающих множества, и скобок, указывающих порядок выполнения операций, вытекает из свойств 1) – 15).

< Предыдущая		Следующая >