1.1.6. Декартово произведение множеств

Пусть имеется два множества A и B (не обязательно ).

Определение. Декартовым (или прямым) произведением множеств A и B называется множество всех упорядоченных пар вида (A, B), где первый элемент , а второй — :

Множества A и B предполагаются непустыми. В противном случае, если или , то .

Если, например, , , то:

Вообще говоря, , за исключением случая, когда . Тогда произведение называется декартовым квадратом множества A и обозначается: . Если -- множество действительных чисел, то можно рассматривать, как координатную плоскость, отождествив пару (A, B) с точкой, имеющей координаты и Y = b.

В частности, если имеются отрезки , , то представляет собой прямоугольник на координатной плоскости XОY.

Всякая кривая Г на плоскости может быть истолкована как подмножество R2, определяемое некоторым условием (уравнением): .

Аналогично определяется декартовое произведение любого количества непустых множеств.

Именно, пусть заданы множества A1, A2, …, AN. Тогда N-кой (кортежем) называется упорядоченный набор (A1, A2, …, AN), такой что . Множество всех таких N-ок называется декартовым произведением множеств A1, A2, …, AN и обозначается . В частности, если все , то называется N-ой декартовой степенью множества A.

Замечание. Вообще говоря, . Действительно, следует рассматривать как множество матриц , а — кортежи, не учитывающие матричной структуры.

Таким образом, уже из данного примера следует, что ассоциативный закон для

Декартового произведения множеств не выполняется.

Но дистрибутивные законы относительно È, Ç и \ имеют место:

В любом случае, операция “” существенно отличается от предшествующих операций на множествах в том плане, что декартово произведение множеств из данного универсального множества U Уже не принадлежит U.

< Предыдущая		Следующая >