79. Монотонные последовательности

Определение. 1) Если xn+1 > xn для всех n, то последовательность возрастающая.

2)Если xn+1 ³ xn для всех n, то последовательность неубывающая.

3)Если xn+1 < xn для всех n, то последовательность убывающая.

4)Если xn+1 £ xn для всех n, то последовательность невозрастающая

Все эти последовательности называются Монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются Строго монотонными.

Пример. {xn} = 1/n – убывающая и ограниченная

{xn} = n – возрастающая и неограниченная.

Пример. Доказать, что последовательность {xn}= монотонная возрастающая.

Найдем член последовательности {xn+1}=

Найдем знак разности: {xn}-{xn+1}=

, т. к. nÎN, то знаменатель положительный при любом n.

Таким образом, xn+1 > xn. Последовательность возрастающая, что и следовало доказать.

Пример. Выяснить является возрастающей или убывающей последовательность

{xn} = .

Найдем . Найдем разность

, т. к. nÎN, то 1 – 4n <0, т. е. хn+1 < xn. Последовательность монотонно убывает.

Следует отметить, что монотонные последовательности ограничены по крайней мере с одной стороны.

Теорема. Монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

Доказательство. Рассмотрим монотонную неубывающую последовательность

Х1 £ х2 £ х3 £ … £ хn £ xn+1 £ …

Эта последовательность ограничена сверху: xn £ M, где М – некоторое число.

Т. к. любое, ограниченное сверху, числовое множество имеет четкую верхнюю грань, то для любого e>0 существует такое число N, что xN > a - e, где а – некоторая верхняя грань множества.

Т. к. {xn}- неубывающая последовательность, то при N > n а - e < xN £ xn,

Xn > a - e.

Отсюда a - e < xn < a + e

-e < xn – a < e или ôxn - aô< e, т. е. lim xn = a.

Для остальных монотонных последовательностей доказательство аналогично.

Теорема доказана.

< Предыдущая		Следующая >