Лекция №09. Ортогональный базис и его свойства. Матрица Грама и её определитель. Метод ортогонализации Грама-Шмидта. Линейный оператор. Операции и свойства.
5) Определение: базис в L называется ортогональным, если векторы попарно ортогональны, то есть
Пример:
Теорема 14: Если векторы попарно ортогональны, то они являются линейно независимыми.
Доказательство: Пусть
Докажем, что они линейно независимы.
(нулевая линейная комбинация)
Умножим скалярно на последовательно:
(так как все ) все вектора линейно независимы.
Свойства ортогонального базиса.
Пусть - ортогональный базис.
1) и
2)
Если , то
Если , то ; - общий вид задания скалярного базиса в неортогональном базисе.
(2) Матрица Грама.
Рассмотрим совокупность векторов . Поставим вопрос о линейной независимости этих векторов.
Образуем - скалярное произведение.
- матрица Грама.
Теорема 15: Для того, чтобы векторы были линейно независимы, достаточно, чтобы
Однородная система уравнений
- у неё существует только нетривиальное решение при условии, что ; .
Если , то у существует нетривиальное решение, следовательно - линейно независимы.
Геометрический смысл определителя Грама.
Рассмотрим:
- площадь параллелограмма.
- Объём N-мерного параллелепипеда.
(3) Метод ортогонализации Грама-Шмидта.
Любой базис можно ортогонализовать.
Теорема 16: в любом евклидовом пространстве существует ортогональный базис.
Доказательство: пусть - базис в L
1) Пусть ,
2) Пусть
3) Пусть
K)
(4) Линейный оператор
Оператор: Преобразование - Тождественно
Отображение -
Функционал -
Функция -
...
Рассмотрим L и M - линейные пространства.
Для любого найдём по некоторому правилу . Это правило и есть оператор.
Определение: если для любого ставится соответствие по некоторому правилу , то говорят, что на множестве задан оператор со значениями в .
, если
Определение: оператор называется линейным, если он удовлетворяет двум условиям линейности:
1)
2)
- образ множества
- прообраз множества
Если , то называется преобразованием.
- преобразование самого в себя при действии
- матрица
- столбцы
< Предыдущая | Следующая > |
---|