Лекция №09. Ортогональный базис и его свойства. Матрица Грама и её определитель. Метод ортогонализации Грама-Шмидта. Линейный оператор. Операции и свойства.
5) Определение: базис 
в L называется ортогональным, если векторы 
попарно ортогональны, то есть 
Пример: 
Теорема 14: Если векторы попарно ортогональны, то они являются линейно независимыми.
Доказательство: Пусть 
Докажем, что они линейно независимы.
(нулевая линейная комбинация)
Умножим скалярно на последовательно:
(так как все 
) все вектора линейно независимы.
Свойства ортогонального базиса.
Пусть 
- ортогональный базис.
1) 
и 
2) 
Если 
, то 
Если 
, то 
; 
- общий вид задания скалярного базиса в неортогональном базисе.
(2) Матрица Грама.
Рассмотрим совокупность векторов 
. Поставим вопрос о линейной независимости этих векторов.
Образуем 
- скалярное произведение.
- матрица Грама.
Теорема 15: Для того, чтобы векторы были линейно независимы, достаточно, чтобы 
Однородная система уравнений 
- у неё существует только нетривиальное решение при условии, что 
; 
.
Если 
, то у существует нетривиальное решение, следовательно 
- линейно независимы.
Геометрический смысл определителя Грама.
Рассмотрим: 
- площадь параллелограмма.
- Объём N-мерного параллелепипеда.
(3) Метод ортогонализации Грама-Шмидта.
Любой базис можно ортогонализовать.
Теорема 16: в любом евклидовом пространстве существует ортогональный базис.
Доказательство: пусть 
- базис в L
1) Пусть 
, 
2) Пусть 
3) Пусть 
K) 
(4) Линейный оператор
Оператор: Преобразование - Тождественно
Отображение -
Функционал -
Функция -
...
Рассмотрим L и M - линейные пространства.
Для любого найдём по некоторому правилу 
. Это правило и есть оператор.
Определение: если для любого ставится соответствие по некоторому правилу , то говорят, что на множестве 
задан оператор 
со значениями в 
.
, если 
Определение: оператор 
называется линейным, если он удовлетворяет двум условиям линейности:
1) 
2) 
- образ множества 
- прообраз множества
Если 
, то называется преобразованием.
- преобразование самого в себя при действии
- матрица 
- столбцы 
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
