Лекция №07. Формула Крамера. Фундаментальная система решений. Общее решение. Свойства решений. Скалярное произведение. Евклидово пространство.

Теорема 12 (Кроникера-Капелли): Для того, чтобы система уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы .

Доказательство (необходимость):

Пусть система совместна. Докажем, что .

- линейная комбинация строк матрицы А.

Так как система совместна, то существует её решение

- решения.

Столбец есть некоторая линейная комбинация столбцов матрицы А, то если , то и .

Доказательство (достаточность):

1)   Пусть .

2)   Докажем, что система совместна.

Итак, .

базисных столбцов в А являются базисными столбцами и для матрицы А.

вполне конкретны, следовательно, система совместна.

1)   Формула Крамера.

Рассмотрим: , где А - квадратная, .

Пусть

Тогда и равен , следовательно, система совместна и определённа.

Существует . Тогда

2)   Фундаментальная система решений - это совокупность частных линейно независимых решений.

Рассмотрим: - однородная система уравнений.

1)   - всегда совместна.

2)   Всегда существует нулевое или тривиальное решение.

Теорема 13: Однородная система уравнений с неизвестными имеет нетривиальное (ненулевое) решение тогда и только тогда, когда

Доказательство:

Рассмотрим: . . Имеем задачу на определение линейной зависимости столбцов матрицы А. Если столбцы Линейно зависимы, то существует . Тогда это - решение . Так как линейно зависимы, то

Фундаментальная система решений.

Пример 1:

;

- Частные решения.

. Значит существует нетривиальное решение. Найдём в матрице А базисный минор:

- линейная комбинация базисных столбцов матрицы А.

- линейно независимы.

- решение в общем виде.

- решение.

Найдём частное решение:

; N-p случаев.

N-p частных линейно независимых решений.

Определение: Совокупность частных линейно независимых решений образуют фундаментальную систему решений.

Определение: общее (полное решение представляет собой всевозможные линейные комбинации фундаментальной системы решений.

- линейная оболочка.

О. Р. - однородное(или общее) решение.

Свойства:

1)   , то - неоднородное решение.

, то - однородное решение.

Ч. Р. - частное решение.

- частное (любое) решение неоднородного уравнения.

Общее решение неоднородной системы уравнений равно сумме решения однородной системы уравнений и любого частного решения неоднородной системы уравнений.

< Предыдущая		Следующая >