Лекция №06. Операции над линейными пространствами. Изоморфизм линейных пространств. Преобразование базиса и преобразование координат. Системы линейных уравнений. Теорема Кроникера-Капелли. Формула Крамера.

(1) Объединение и пересечение линейных пространств.

- линейные пространства.

- конечные множества.

- число элементов в этих множествах.

Теорема 10: Пусть - линейные пространства. Тогда или .

Доказательство: Пусть .

Тогда:

- базис в

- базис в

Рассмотрим

- базис в

Если (входит), то

Изоморфизм линейных пространств.

Тезис: пространства одинаковой размерности неотличимы.

Пример:

- полином степени 3.

Определение: пространства и Называются изоморфными, если между векторами и можно установить взаимно однозначное соответствие, причём должны выполняться следующие условия: если , то

1)

2)

- отображение, то есть это то соответствие, которое установлено.

- линейное отображение.

Теорема 11: Если , то и изоморфны.

Доказательство: Пусть - базис в, - базис в . Тогда выберем и :

- в выбираем соответствие , значит координаты вектора определены однозначно.

2) Рассмотрим в пространстве L два базиса:

Рассмотрим вектор

Разложим старый базис по новому:

;

СБ - старый базис; СК - старые координаты.

НБ - новый базис; НК - новые координаты.

Итак:

3) Системы линейных уравнений.

M уравнений, N неизвестных.

- матричная форма записи систем уравнений.

, I - фиксированный индекс.

Классификация.

Если и , (то есть существует ), то это неоднородная система уравнений.

Если , то есть , то это однородная система уравнений.

О решениях.

Если :

1)   Имеет решения, то система уравнений называется совместной.

2)   Не имеет решений, то система уравнений называется несовместной.

Совестная:

< Предыдущая		Следующая >