4.1. Линии второго порядка в произвольной системе координат. Кривые второго порядка при параллельном переносе

Рассмотрим общее алгебраическое уравнение второго порядка

, (1)

Где - заданные действительные числа.

Покажем, что преобразованием системы координат, а именно, параллельным переносом и поворотом осей, данное уравнение приводится к одному из изученных - эллипсу, гиперболе или параболе.

1. Случай : .

Пусть декартова система координат получена параллельным переносом системы по оси на величину и по оси На величину . "Старые" и "новые" координаты связаны равенствами

(2)

Это есть Формулы параллельного переноса системы координат. Подставим их в уравнение (1) и соберем коэффициенты при неизвестных и :

Обозначим выражение в круглых скобках , а и подберем так, чтобы квадратные скобки были равны нулю, получим в "новой" системе координат уравнение

(4)

И систему линейных уравнений для подбора величин и при которых уравнение (1) преобразуется в (4)

(5)

Случай А. Если система (5) имеет единственное решение, то соответствующая линия второго порядка называется Центральной; к их числу относятся эллипс и гипербола.

Случай Б. Если система (5) имеет множество решений, то координата или выбирается произвольно, а вторая находится из системы (5); этому случаю соответствует Парабола.

Случай В. Если система (5) не совместна, то параллельным переносом, как и в случае множества решений, удается "уничтожить" только один линейный член в (1); этому случаю соответствует так называемая Вырожденная парабола.

ВЫВОД 1: Параллельным переносом осей координат в "центр" кривой, заданной общим уравнением (1), можно "уничтожить" линейные члены и преобразовать его к уравнению (4); при этом коэффициенты при квадратичных членах не изменятся.

Пример 1. Параллельным переносом установить тип кривой, заданной уравнением

.

Сравнивая с уравнением (1) находим

.

Составим систему уравнений по аналогии с системой (5)

Ее решение .

Для приведения кривой к каноническому виду следует сделать параллельный перенос: . Подставим эти значения в исходное уравнение, получим

Разделим уравнение на свободный член уравнения, получим - это гипербола с полуосями .

2. Случай : Например, .

Общее алгебраическое уравнение второго порядка имеет вид

. (6)

Сделаем параллельный перенос системы вдоль оси на величину . "Старые" и "новые" координаты связаны равенством Подставим в уравнение (6) и соберем коэффициенты при неизвестных

Обозначим выражение в круглых скобках , а подберем так, чтобы первая квадратная скобка была равна нулю , получим в "новой" системе координат уравнение

. (7)

ВЫВОД 2: Параллельным переносом осей координат для кривой, заданной уравнением (6), которое содержит только один квадратичный член, можно "уничтожить" только один линейный член; при этом коэффициент при квадратичном члене не изменятся.

Пример 2. Параллельным переносом установить тип кривой, заданной уравнением

.

Сравнивая с уравнением (6) находим

.

Составим систему уравнений по аналогии с системой (5):

.

Для приведения кривой к каноническому виду следует сделать параллельный перенос: . Подставим эти значе-ния в исходное уравнение, получим

.

Теперь сделаем параллельный перенос: , получим - это парабола с параметром .

< Предыдущая		Следующая >