3.5. Полярные уравнения кривых второго порядка

Рассмотрим произвольную кривую второго порядка и поместим начало полярной системы в фокус этой кривой.

По определению кривых второго порядка . Как видно из рисунка, , а . Отсюда получим уравнение

(1)

Это полярное уравнение эллипса при , правой ветви гиперболы при и параболы при .

Замечание 1. Для левой ветви гиперболы

, .

(легко проверяется при имеем ) имеем уравнение

Замечание 2. Полярное уравнение окружности не следует из (1), а выводится из уравнения с использованием формул перехода к полярным координатам

.

Пример 1. Написать уравнение прямой в поляр-ных координатах.

Решение. Перепишем уравнение прямой в нормированном виде

Перейдем к полярным координатам: , и учтем, что :

Уравнение прямой в полярных координатах можно получить иначе. Сделаем рисунок.

Откуда видно:

Пример 2. Записать уравнения заданных кривых:

А) в полярных координатах: б) в декартовых координатах:

Решение.

Перейдем к полярным координатам Тогда,

Перейдем к декартовым координатам

Тогда,

- прямая.

- лемниската Бернулли.

< Предыдущая		Следующая >