3.3. Каноническое уравнение гиперболы

Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости для которых абсолютная величина разности расстояний до фокусов и есть величина постоянная, т. е.

В координатах это выражение имеет вид

После стандартного метода "уничтожения" радикалов (возведения обеих частей уравнения в квадрат (см. пример 1. §14.)) получим каноническое уравнение гиперболы

(1)

Где .

Свойства гиперболы:

1. Гипербола имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии и (главные оси гиперболы) и центр симметрии О (центр гиперболы).

Утверждение следует из того, что замена координат на или или не изменяет вид уравнения (1).

2. Гипербола имеет две асимптоты, определяемые уравнения-ми

. (2)

В самом деле, из уравнения (1) имеем .

Выберем, например, первую кривую (со знаком "+") и найдем разность ординат прямой и гиперболы в точке :

Заметим теперь, что при .

Замечание. Первых двух свойств достаточно для построения гиперболы: построим так называемый Характеристический Прямоугольник гиперболы размерами и , проводим асимптоты и, наконец, ветви гиперболы.

3. Гипербола имеет так называемую сопряженную по отношению к ней гиперболу, уравнение которой следует из определения или

. (3)

4. Эксцентриситет гиперболы определяется выражением , которое следует из связи . Обратим внимание на то, что эксцентриситет гиперболы больше единицы в отличии от эллипса, для которого он заключен между нулем и единицей.

5. Для директрис гиперболы

Имеет место аналогичное как для эллипса свойство:

Поскольку для гиперболы , то ее директрисы расположены в пределах характеристического прямоугольник по оси и пред-ставляют собой пару прямых, параллельных оси