2.3.3. Нормированное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости

В общем уравнении плоскости нор-мируем (т. е. сделаем единичным) нормальный вектор плоскости . Для этого умножим уравнение на множитель , а знак "+" или "-" выберем так, чтобы параметр был неотрицательным. Заметим, что теперь нормальный вектор имеет координаты

,

Которые есть его направляющие косинусы . В результате имеем уравнение

, (3)

Которое называется Нормальным уравнением плоскости. Это название происходит от того, что нормальный вектор плоскости имеет длину равную единице (как мы знаем, длина нормального вектора плоскости не отражается на уравнении).

Для выяснения смысла параметра перепишем уравнение (3) в векторном виде: . Откуда . В частности, если векторы и коллинеарные и однонаправлены, то и есть расстояние от начала координат до плоскости.

Теорема. Расстояние D от произвольной точки до данной плоскости равно

, (4)

Или

. (5)

Доказательство. Перепишем (5) в виде .

Заметим, что есть расстояние от плоскости (содержащей точку ) до начала координат, а - расстояние от плоскости до начала координат (Рис.). Поэтому есть искомое расстояние.

Правило. Чтобы найти расстояние от произвольной точки до данной плоскости необходимо подставить в левую часть уравнения плоскости (3) координаты точки .

Расстояние от точки до плоскости можно найти как высоту параллелепипеда, построенного на векторах , где точка - произвольная заданная точка плоскости, а векторы есть произвольные заданные векторы плоскости (Рис.). Для этого следует разделить объем параллелепипеда на площадь его основания. В векторном виде объем параллелепипеда

Равен модулю смешанного произведения приведенных к общему началу векторов , а площадь основания равна модулю векторного произведения :

Заметим, что из этой формулы следует (4), если :

Пример 1. Написать уравнение плоскости , проходящей через точку параллельно плоскости и вычислить расстояние между плоскостями.

Решение. Из условия следует коллинеарность нормальных векторов и , следовательно, . Отсюда получим искомое уравнение плоскости

Расстояние между плоскостями найдем как расстояние от точки плоскости до плоскости :

Пример 2. Написать уравнение плоскостей, делящих пополам двухгранные углы, образованные плоскостями

и .

Решение. Запишем искомые уравнения из условия равенства расстояния от произвольной точки искомых плоскостей до плоскостей и :

< Предыдущая		Следующая >