2.1. Линейные образы. Плоскость и прямая. Общее уравнение плоскости и его исследование
Пусть в пространстве 
задана произвольная плоскость 
и фиксирована декартова система координат. Пусть 
произвольный вектор, перпендикулярный плоскости . Его называют нормальным вектором плоскости . На плоскости выберем две точки - произвольную точку 
и фиксированную - 
. Построим вектор 
(Рис.)
Заметим, что вектор лежит в плоскости , а вектор 
ортогонален ему, поэтому скалярное произведение этих векторов равно нулю, т. е.
, (1)
Или в координатах
. (2)
Первое уравнение называется Векторным уравнением плоскос-ти, а второе - Уравнением плоскости проходящей через Заданную Точку 
C нормальным вектором .
Обозначим через 
, то получим из (2) так называемое Общее уравнение плоскости c нормальным вектором
. (3)
Исследуем частные случаи общего уравнения (3):
1. Если точка лежит в плоскости , то как следует из (3) выполняется тождество 
. Вычитая это тождество из (3), получим уравнение плоскости (2).
2. 
. Точка 
удовлетворяет уравнению (3), следовательно, уравнение 
определяет плоскость, проходящую через начало координат.
3. 
. Нормальный вектор имеет координаты 
, т. е. он перпендикулярен оси Х. Тогда уравнение 
определяет плоскость, параллельную оси 
.
Аналогично рассматриваются случаи 
.
4. 
. Нормальный вектор имеет координаты 
, т. е. он перпендикулярен осям и У. Тогда уравнение 
определяет плоскость, параллельную плоскости 
.
Аналогично рассматриваются случаи 
и 
.
5. 
. Уравнение 
соответствует предыдущему случаю с учетом того, что при плоскость проходит через начало координат, следовательно, имеем координатную плоскость .
Оставшиеся случаи 
и 
есть уравнения координатных плоскостей 
и 
соответственно.
Пример. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку 
параллельно векторам 
и 
.
Решение. Найдем нормальный вектор искомой плоскости
= 
Используя уравнение (2) запишем искомое уравнение плоскости
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
