6.10. Дифференциальные уравнения второго порядка

Общий вид дифференциального уравнения второго порядка, согласно (1.2), таков:

(4.1)

Простейшим из дифференциальных уравнений второго порядка является уравнение вида

. (4.2)

Общее решение этого уравнения, содержащее все его частные решения, находится его последовательным двукратным интегрированием:

(4.3)

Это общее содержит две неопределенные константы и .

Аналогичной будет ситуация и с решением любого дифференциального уравнения второго порядка (4.1). Действительно, если для нахождения общего решения дифференциального уравнения первого порядка это уравнение необходимо было один раз проинтегрировать (см. схему (1.3)), то для нахождения общего решения уравнения второго порядка (4.1) это уравнение, как и простейшее уравнение (4.2), нужно проинтегрировать дважды. То есть схема получения общего решения любого дифференциального уравнения второго порядка в принципе такова:

| дважды интегрируем |

(4.4)

Кроме полученного по схеме (4.4) общего решения (неявного) или (явного) у дифференциального уравнения (4.1) могут быть и особые решения …, которые тоже не должны быть потеряны.

Решение дифференциальных уравнений второго порядка представляет собой, естественно, гораздо более сложную задачу, чем решение уравнений первого порядка. Подготовить и провести двукратное интегрирование дифференциального уравнения второго порядка, то есть получить его решение в квадратурах, удаётся далеко не для всякого уравнения. Чаще всего это удаётся для уравнений, допускающих понижение своего порядка. То есть для уравнений второго порядка, допускающих своё преобразование в уравнение первого порядка. Среди таких уравнений отметим следующие.

< Предыдущая		Следующая >