6.09. Приближенное решение дифференциальных уравнений первого порядка

Имеется еще несколько типов дифференциальных уравнений первого порядка, допускающих свое решение интегрированием (решение в квадратурах):

1) ; 2) ;

3) ; 4) ; … (3.31)

Вопрос о схемах их интегрирования опустим (он описан в литературе). Но имеется множество дифференциальных уравнений первого порядка, не допускающих решение в квадратурах. Например, невозможно применить интегрирование даже к такому простому, на первый взгляд, дифференциальному уравнению, как уравнение . Эти и другие не решаемые в квадратурах дифференциальные уравнения решаются лишь приближенно. Точнее, всегда имеется возможность построить с нужной точностью интегральную кривую решения любой задачи Коши вида

, (3.32)

Если только это решение существует и единственно (а его существование и единственность, как правило, следует из прикладного смысла решаемой задачи Коши). Разработаны и используются на практике различные численные методы приближенного решения задачи Коши вида (3.32): метод Эйлера; метод Рунге – Кутта; метод Адамса – Крылова; метод малого параметра, и др. Для примера рассмотрим идею наиболее простого из них – метода Эйлера.

Пусть искомое решение задачи Коши (3.32) для , где - заданный промежуток оси Ох. Функция может считаться найденной, если построен с достаточной точностью ее график.

Для построения нужного нам графика функции разобьем отрезок на некоторое число N частичных промежутков одинаковой ширины (рис.6.4). Здесь

; ; ; …;… (3.33)

Пусть - значения искомой функции в точках соответственно. Заметим, что значение уже задано начальным условием задачи Коши (3.32). А остальные значения можно, следуя методу Эйлера, найти последовательно одно за другим – правда, приближенно.

1) Нахождение :

Используя приближенную формулу (6.1) главы 4, получим:

(3.34)

Эта формула приближенная, и она тем точнее, чем меньше . А так как, согласно равенствам (3.32), , то получим:

(3.35)

По этой формуле и находится приближенное значение . Оно получится тем точнее, чем меньше будет .

2) Нахождение остальных значений :

Эти значения последовательно, друг за другом, находятся по той же идее, что использовалась и для нахождения . То есть они находятся по формулам:

… (3.36)

Так как каждая из последующих формул (3.36) использует предыдущее значение , найденное приближенно, то ошибка в определении все новых и новых значений будет, вообще говоря, возрастать (накапливаться). Однако, уменьшая шаг , будем уменьшать и эту ошибку, которую, таким образом, можно сделать как угодно малой.

Линия , построенная по точкам

… , (3.37)

Представляет собой приближенный график искомого решения задачи Коши (3.32) (рис. 6.5). Эта линия называется Кривой Эйлера. Подобрав с нужной точностью аналитическое уравнение кривой Эйлера (о возможности и схеме такого подбора см. §5 главы 1), получим и приближенное аналитическое выражение для функции , то есть для решения задачи Коши (3.32) (если, конечно, такое аналитическое выражение для каких–то целей необходимо).

Методы Рунге – Кутта и Адамса – Крылова основаны на той идее построения графика искомого решения задачи Коши (3.32) по точкам, что и метод Эйлера. Эти методы сложнее, но зато и тоньше, ибо позволяют найти узловые значения функции при том же шаге гораздо более точно, чем они находятся по методу Эйлера. Численную реализацию каждого из этих методов можно осуществить, воспользовавшись стандартными программами для ЭВМ.

Есть, впрочем, и другая идея приближенного решения задачи Коши (3.32), которую используют, например, такие методы, как метод последовательных приближений, метод малого параметра, и некоторые другие. При реализации этих методов строится последовательность аналитически выраженных функций

,

Каждая из которых дает приближенное выражение для искомой функции сразу на всем заданном промежутке оси Ох. При этом каждая последующая функция (3.38) представляет искомую функцию точнее, чем предыдущая. Останавливая процесс построения этих функций на некотором этапе, можно получить аналитическое выражение искомой функции с любой заданной точностью. Реализация такой схемы решения задачи Коши (3.32) тоже осуществляется на ЭВМ.

Упражнения

1. Решить задачу Коши :

.

Ответ: .

2. Решить дифференциальное уравнение: .

Ответ: - общее решение; – особое решение.

3. Решить задачу Коши:

Ответ: .

4. Решить уравнение . Указание: сделать замену .

Ответ: .

5. Скорость охлаждения тела в воздухе, согласно закону Ньютону, пропорциональна разности температур тела и воздуха. Если при температуре воздуха тело охлаждается со до за 20 минут, то за какое время его температура понизится: а) до ? б) до ?

Ответ: а) за 1 час; б) за .

6. Выяснить тип дифференциального уравнения и решить его.

Ответ: это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка, а - его общее решение.

7. Методом неопределённых коэффициентов найти решение линейного неоднородного дифференциального уравнения , а затем найти и его общее решение.

Ответ:

- частное решение; - общее решение.

< Предыдущая		Следующая >