6.02. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка

Общее решение любого дифференциального уравнения первого порядка F(х; у; у') = 0, как это следует из схемы его получения (1.3), содержит бесчисленное множество частных решений. Возникает естественный вопрос: как из этого множество частных решений выделить интересующее нас конкретное частное решение? Иначе говоря, как из множества интегральных кривых данного дифференциального уравнения выделить нужную интегральную кривую?

Ответ почти очевиден: для этого на плоскости Хоу нужно задать некоторую точку , через которую должна пройти искомая интегральная кривая. Тогда её уравнение и будет тем частным решением, которое выделяется из прочих (рис. 6.2).

Задание точки равносильно заданию условия для искомого, выделяемого из прочих, частного решения данного дифференциального уравнения. Это условие называется Начальным условием для дифференциального уравнения первого порядка F(х; у; у') = 0. Начальным оно называется потому, что очень часто в реальных задачах по исследованию различного рода процессов роль независимой переменной Х играет время T, а начальным значением Х0 является начальный момент времени T0 (обычно T0 = 0). Тогда начальное условие показывает, какое значение У0 имела искомая функция , описывающая исследуемый процесс, в начальный момент времени Х0. Ну, а сама функция , если нас не интересует предистория процесса, то есть времена Х < х0, ищется для Х > х0.

Если дифференциальное уравнение первого порядка F(х; у; у') = 0 задано вместе с начальным для него условием , То говорят, что для этого уравнения задана Задача Коши:

(2.1)

Решить её - это значит найти те частные решения дифференциального уравнения F(х; у; у') = 0 , которые еще удовлетворяют и заданному начальному условию . С точки зрения рисунка 6.2 решить задачу Коши (2.1) – это значит найти уравнения всех интегральных кривых дифференциального уравнения F(х; у; у') = 0, проходящих через начальную точку .

Как правило, задача Коши (2.1) имеет единственное решение . То есть через заданную начальную точку проходит единственная интегральная кривая дифференциального уравнения F(х; у; у') = 0 (как на рис. 6.2). Но бывает, что задача Коши не имеет решений. То есть бывает, что ни одна из интегральных кривых не проходит через заданную начальную точку . Тогда такая точка называется Особой точкой дифференциального уравнения. А бывает, что задача Коши имеет несколько решений. То есть бывает, что через начальную точку проходит несколько интегральных кривых. Сколько решений будет у задачи Коши (2.1) и каковы они, выясняется в процессе её решения. А Схема решения задачи Коши (2.1) такова:

1. Решаем дифференциальное уравнение F(х; у; у') = 0 и находим все его решения. То есть находим общее решение (общий интеграл) и возможные особые решения .

2. Подставляем начальные значения Х = х0 И У = у0 в общее решение и находим соответствующее значение (значения) константы С:

(2.2)

3. Подставляем каждое из найденных значений С В общее решение и получаем частные решения

,

Являющиеся решением задачи Коши. Это те решения этой задачи, которые выделяются из общего решения дифференцированного уравнения F(х; у; у') = 0.

4. Проверяем, нет ли среди особых решений Дифференциального уравнения F(х; у; у') = 0 таких, которые удовлетворяют начальному условию У(х0) = у0. Если такие найдутся, они тоже будут решениями задачи Коши (2.1).

Пример1. Решить задачу Коши:

Решение.

1. Сначала решим дифференциальное уравнение . Оно уже решено ранее – его решение найдено в примере 3, §1:

- общее решение; – особое решение.

2. Подставим начальные значения В общее решение и найдем С:

3. Подставим в общее решение и получим частное решение

.

Эта функция является решением данной задачи Коши.

4. Обратим внимание на особое решение У=0. Начальному условию У(0)=1 оно не удовлетворяет, поэтому решением данной задачи Коши не является.

Ответ: - единственное решение поставленной задачи Коши.

Пример 2. Материальное тело поднято на высоту H и в начальный момент времени T=0 отпущено в свободное падение. Описать математически процесс падения тела. А именно, найти зависимость ν = ν(T) скорости ν падающего тела от времени T, и найти зависимость S = S(T) пути S, пройденного падающим телом, от времени T. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение. Как известно, все свободно падающие тела падают с постоянным ускорением G ≈ 9,8 м/сек2 - с ускорением свободного падения. А так как ускорение – это производная от скорости, то получаем: . Это - дифференциальное уравнение первого порядка для искомой функции . Учтём еше, что в начальный момент времени T = 0 тело покоилось, а значит, выполняется начальное условие: . В итоге для определения функции Получаем задачу Коши:

Решим эту задачу.

1. Сначала решим дифференциальное уравнения:

Это – общее решение уравнения , содержащее все его решения. Особых решений у него нет.

2. Используем начальное условие и найдем С:

0 = G0+С => С = 0.

3. Подставим С=0 в общее решение V=Gt+C и получим окончательно: V=Gt. Это и есть решение поставленной задачи Коши (единственное). И заодно V=Gt - это искомая зависимость скорости V падающего тела от времени T.

А теперь займёмся поиском зависимости S=S(t) Пути S От времени T. Учтём, что и что . Тогда для определения этой зависимости получим следующую задачу Коши:

Решим эту задачу.

1. Сначала решим дифференциальное уравнение :

;

Это - общее решение уравнения , содержащее все его решения. Особых решений у него нет.

2. Используем начальное условие и найдём С:

.

3. Подставим С=0 в общее решение и получим окончательно: . Это и есть решение рассматриваемой задачи Коши. И заодно - это искомая зависимость пути S, проходимого свободно падающим телом, от времени T.

Ответ: - известные школьные формулы.

Пример3. Дать математическое описание демографического процесса (процесса изменение численности населения со временем) для достаточно крупного населённого региона, если в начальный момент времени численность населения региона составляла человек.

Решение. Пусть – искомая зависимость численности населения региона от времени . И пусть за время , прошедшее с некоторого момента до момента , родилось человек и умерло человек. Эти количества, очевидно, пропорциональны как исходной (в момент ) численности населения , так и величине временного промежутка . То есть

;

Здесь и – некоторые числовые коэффициенты, связанные соответственно с уровнем рождаемости и уровнем смертности в данном регионе. Тогда общее изменение численности населения за время найдется по формуле:

.

Здесь . Из получённого равенства следует: . Устремляя здесь (при этом, очевидно, и ), то есть переходя к бесконечно малым и , получим:

, или .

Это – дифференциальное уравнение первого порядка для искомой функции . Дополняя это заданным начальным условием , получим для этой функции задачу Коши:

Решим эту задачу.

1. Сначала решим дифференциальное уравнение . Функция является его очевидным частным решением. Но это, очевидно, не та функция, которую мы ищем – она не удовлетворяет начальному условию, да и вообще она означает, что население в регионе отсутствует.

Будем искать те решения уравнения для которых :

Итак, - общее решение дифференциального уравнения . В него, кстати, при С = 0 входит и отмеченное ранее нулевое решение . То есть в найденном общем решении содержатся все решения дифференциального уравнения.

2. Используем начальное условие и найдём С:

.

3. Подставим в общее решение и получим искомое решение задачи Коши:

.

Это и есть искомая зависимость Численности населения региона от времени .

Проанализируем эту зависимость.

а) Если , то численность населения экспоненциально растёт со временем (рис. 6.3(а)).

б) Если , то численность населения Экспоненциально убывает со временем (рис. 6.3(б)).

в) Если , то , то есть численность населения региона не меняется (рис. 6.3(в).

Какой именно будет величина для данного региона, можно выяснить опытным путём. Пусть, например, перепись населения показала, что в некоторый момент времени в регионе проживало человек. Подставляя эти данные в формулу , можем найти :

.

Примечание. Полученная формула будет верно описывать демографический процесс в регионе, если уровень рождаемости и уровень смертности в нем не меняются со временем. То есть если коэффициенты и рождаемости и смертности не меняются со временем. А значит, если не меняется со временем и итоговый коэффициент . Но это, как известно, не так: с течением времени, в силу разных причин, ситуация и со смертностью, и с рождаемостью может существенно измениться. Поэтому полученную формулу при конкретном числовом значении оправданно применять лишь на протяжении достаточно ограниченного периода времени. В другой период времени тоже можно применять эту формулу, но уже при другом значении .

Пример 4. Рассмотрим задачу о математической модели естественного роста выпуска продукции.

Пусть - объем продукции некоторого предприятия, реализованной моменту времени . Будем считать, что вся продукция реализуется по некоторой фиксированной цене за единицу продукции независимо от объема продаж . Это значит, что рынок данной продукции длительное время является насыщенным – удается продавать по фиксированной цене практически любые объемы этой продукции.

Доход от продаж составит: . Будем считать, что некоторая часть этого дохода используется в качестве инвестиций в производство выпускаемой продукции. То есть объем инвестиций составит:

(2.4)

Здесь – так называется Норма инвестиций. Она показывает, какая часть дохода возвращается в производство.

Чем больше объем инвестиций , тем быстрее растёт объем производства . В модели естественного роста это значит, что скорость роста объема производства (так называемая Акселерация производства) пропорциональна объему инвестиций :

. (2.5)

Здесь

(2.6)

- так называемая Норма акселерации, которая показывает, каким должен быть объём инвестиций , чтобы обеспечить единичную скорость роста объема производства (обеспечить рост на единицу продукции за единицу времени). Подставляя (2.4) в (2.5), получим

, (2.7)

Где – числовой коэффициент. Равенство (2.7) представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка для функции . Дополняя его некоторым начальным условием , получим задачу Коши:

(2.8)

Эта задача полностью совпадает с задачей Коши для демографического процесса (см. пример 3). Значит, у них полностью совпадают и решения:

(2.9)

Заметим, что условие постоянства цены единицы продаваемой продукции, то есть условие насыщенности рынка, не может выполнятся всегда, при любых . С увеличением объема продаж на некотором этапе рынок насыщается, спрос на товар падает, и дальнейшее увеличении объема продаж возможно лишь при снижении цены на него – в соответствии с классической убывающей кривой спроса . Если учесть эту зависимость от , то выражение (2.4) для примет вид:

(2.10)

А вместо (2.7) из (2.5) получим:

, (2.11)

Где . Это дифференциальное уравнение вместе с начальным условием составит задачу Коши:

(2.12)

Для определения функции , характеризующей объем продаж при насыщенном спросе, когда рост объема продаж возможен лишь при снижении цены на продаваемую продукцию. Эта функция, естественно, будет отличаться от функции (2.9) (будет более сложной).

Упражнения

1. Сформулировать и решить задачу по определению скорости V=V(T) свободно падающего тела массой M при условии, что учитывается сопротивление воздуха, пропорциональное скорости падения тела.

Ответ: .

2. Сформулировать и решить задачу по определению объема У=y(t) реализованной продукции, если известно, что кривая спроса Р= р(у) задаётся уравнением Р=2-у; норма инвестиций M=0,5; норма акселерации ; У(0)=0,5 – начальное условие.

Ответ:

3. При условиях предыдущей задачи 2 найти эластичность объема продаж относительно цены Р и определить условия, при которых продажи продукции являются эластичными и неэластичными.

Ответ: .

Если 0,5<Y<1, то есть если , то , и продажи представляют собой эластичный процесс (продажи растут относительно быстрее снижения цены). Доход от продаж при снижении цены возрастает. А если 1<Y<2, то есть если , то , и продажи представляют собой неэластичный процесс (продажи растут относительно медленнее снижения цены). Доход от продаж растёт при увеличении цены товара (см. §7 главы 4).

< Предыдущая		Следующая >