6.01. Дифференциальные уравнения. Общие понятия и определения

Определение 1. Уравнение, содержащее хотя бы одну из производных у', у'', у''',… неизвестной функции у = у(х), называется дифференциальным уравнением для этой функции. Сама функция У и её аргумент Х Могут входить, а могут и не входить в дифференциальное уравнение. Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется Порядком этого уравнения.

Таким образом,

F(х; у; у') = 0 (1.1)

- общий вид дифференциального уравнения первого порядка;

F(х; у; у'; у'') = 0 (1.2)

- общий вид дифференциального уравнения второго порядка, и т. д.

В соответствии со сказанным выше в уравнении первого порядка (1.1) обязательно наличие лишь У', а наличие Х и У Не обязательно. В уравнении второго порядка (1.2) обязательно наличие лишь У'', а наличие остальных его элементов Х, у и У' не обязательно.

Определение 2. Решением (частным решением) дифференциального уравнения на некотором промежутке [A; B] оси ох называется функция, удовлетворяющая для всех х є [A;B] дифференциальному уравнению, то есть обращающая его в тождество (верное числовое равенство 0=0). Графики частных решений У = F(х) дифференциального уравнения называется его интегральными кривыми.

Например, функция У = х² является частным решением дифференциального уравнения первого порядка У'-2х = 0 для всех Х От - ∞ до + ∞. А интегральной кривой, соответствующей данному частному решению, является парабола с уравнением У = х².

Определение 3. Решить дифференциальное уравнение (любого порядка) – это значит найти все его частные решения, то есть найти все функции у = F(х), удовлетворяющие этому уравнению. Формула, содержащая все (или почти все) частные решения дифференциального уравнения, называется его общим решением. Частные решения, не содержащиеся в общем решении, называются особыми решениями Дифференциального уравнения.

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение У'-2х = 0.

Решение. Данное уравнение равносильно уравнению У' = 2х. Следовательно, все функции У, удовлетворяющие этому уравнению, являются первообразными для функции 2х (см. §1, глава 5). Но множество всех первообразных для данной функции – это неопределенный интеграл от неё. Поэтому все частные решения дифференциального уравнения У'-2х = 0 найдутся по формуле:

Формула У = х² + С представляет собой общее решение дифференциального уравнения У'-2х = 0. Эта формула содержит в себе множество функций (ибо С – неопределенная константа), и все эти функции - частные решения дифференциального уравнения У'-2х = 0. Особых решений у этого дифференциального уравнения нет. Интегральными кривыми данного дифференциального уравнения являются параболы У = х² + С (их бесконечно много). Все частные решения, входящие в общее решение У = х² + С, являются ими для всех Х От - ∞ до + ∞.

А теперь сделаем следующее важное замечание. Функция У = F(х), являющаяся частным решением данного дифференциального уравнения, может быть им лишь для тех Х, для которых определена и она, и все её производные, входящие в дифференциальное уравнение. Вносит свои ограничения и сама структура дифференциального уравнения (что-то в нем может находиться под корнем, что-то под логарифмом и т. д.). А так как у разных функций, вообще говоря, разные области определения (особенно с учетом областей определения их производных), то разные частные решения У = F(х) дифференциального уравнения удовлетворяют этому уравнению, вообще говоря, на разных числовых множествах оси Ох.

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение первого порядка Уу' = х.

Решение. Проведем следующие тождественные преобразования:

Множество функций содержит в себе все частные решения дифференциального уравнения Уу' = х. Таким образом, формула является общим решением этого уравнения. Особых решений у него нет.

А теперь проанализируем полученное общее решение уравнения У у' = х.

А) Если С>0, то и функции , и их производные

Определены для любых Следовательно, при С>0 эти функции являются решениями дифференциального уравнения при любых Х.

Б) Если С=0, то получаем две функции , которые определены для любых Но вот производные у них существует для любых Х, кроме точки Х=0, что наглядно демонстрируют графики этих функции (см. рис.

6.1(а) и 6.1 (б)).

Действительно, согласно геометрического смысла производной (глава 4, формула 1.11) производная функции связана касательной к графику функции. А такой касательной к графикам функций при Х=0, очевидно, не существует. Поэтому функции является решениями дифференциального уравнения для всех Х, кроме Х=0.

В) Если С<0, то –С=>0, и тогда получаем функции , которые определены лишь при Х и при Х, причем их производные определены строго при Х>А и при Х<-А. Поэтому функции являются решениями дифференциального уравнения лишь на интервалах Х>А и Х<-А. При изменении величины А меняются и эти интервалы.

Пример 3. Решить дифференциальное уравнения первого порядка .

Решение. Очевидно, что функция У=0 является решениям (частным решением) данного дифференциального уравнения. Поищем возможные другие решения этого уравнения, когда . Для этого проведем следующие тождественные преобразования данного уравнения:

Функции (их бесчисленное множество), как и функция У=0, представляют собой частные решения дифференциального уравнения У'= ху² (убедитесь в этом, найдя У' и подставив У и У' в это уравнение). У каждой из этих функций своя область определения, зависящая от величины константы С. В формуле содержатся все частные решения дифференциального уравнения У'= ху², кроме решения У = 0 (оно не получается по этой формуле ни при каком значении С). Таким образом, формула представляет собой общее решение дифференциального уравнения У'= ху². А У = 0 – особое решение этого уравнения. Заметим, что и интегральная кривая, соответствующая этому особому решению У=0 (ось Ох) кардинально отличается от кривых .

В примерах (1) – (3) мы решили три различных дифференциальных уравнения первого порядка, и у каждого из них оказалось бесчисленное множество частных решений. Произошло это потому, что в процессе решения каждого из них мы применяли операцию интегрирования (операцию вычисления неопределенных интегралов). Интегрирование привело к появлению неопределенной константы интегрирования С, которая затем вошла в выражение для искомой функции У: у = у(х;С). Таким образом, мы получили множество частных решений дифференциального уравнения. Это множество включало в себя или все частные решения дифференциального уравнения (в примерах 1 и 2), или почти все (в примере 3). Поэтому это множество У = у(х;С) частных решений дифференциального уравнения представляло собой общее решение этого уравнения.

По такой схеме (интегрированием) находят общее решение любого дифференциального уравнения первого порядка F(х; у; у') = 0. Действительно, чтобы решить такое уравнение, то есть чтобы найти те функции У = F(х), Которые ему удовлетворяют, нужно «вытащить» функцию У из-под знака её производной. А это как раз и делается с помощью процедуры интегрирования – процедуры, обратной дифференцированию.

Итак, Схема получения общего решения любого дифференциального уравнения первого порядка такова:

|интегрируем уравнение| (1.3)

Отметим, что далеко не всегда удается получить общее решение дифференциального уравнения в явном виде, то есть в виде , когда У выражен через Х И С. Зачастую общее решение получается в неявном виде , из которого выразить У через Х и С Не удается. Тогда его в таком неявном виде и оставляют.

Общее решение дифференцированного уравнения, в каком бы виде (явном, неявном) оно ни было получено, называют ещё Общим интегралом дифференцированного уравнения.

Не факт, что в найденное общее решение (в общий интеграл) дифференцированного уравнения войдут все его частные решения (подтверждением этого служит пример 3). Те частные решения , ,… дифференциального уравнения, которые не войдут в его общее решение, будут его особыми решениями. Их тоже нужно найти (не потерять). В противном случае дифференциальное уравнение окажется решенным неполноценно.

В заключении данного параграфа укажем, в таких задачах естествознания следует ожидать появления дифференциальных уравнений.

Так как решениями дифференциальных уравнений являются функции, а каждая функция в принципе описывает процесс изменения одной переменной при изменении другой переменной , То дифференциальные уравнения, по идее, должны широко встречаться в задачах по исследованию различного рода процессов ( физических, химических, биологических, технологических, экономических, общественных, и т. д.). В следующих параграфах мы приведём примеры, подтверждающее это предположение.

Упражнения

1. Решить дифференциальное уравнение .

Ответ: - общее решение.

2. Решить дифференциальное уравнение .

Ответ: - общее решение.

3. Решить дифференциальное уравнение .

Ответ: - общее решение; У=1 – особое решение.

< Предыдущая		Следующая >