5.21. Несобственные интегралы с конечными пределами интегрирования от неограниченных функций

Под указанными несобственными интегралами понимаются интегралы вида , где F(X) – разрывная в некоторой точке (точках) конечного промежутка интегрирования [A; B] функция, обращающаяся в этих точках в бесконечность (любого знака).

Будем пока считать, что такая точка одна, и эта точка – правая крайняя точка промежутка интегрирования (верхний предел B Интеграла ). То есть будем считать, что функция F(X) непрерывна на полуинтервале [A; B), причем

F(x) ® ±¥ при Х ® B

(6.14)

Под интегралом в этом случае, по определению, понимается предел обычного определенного интеграла :

(6.15)

Этот интеграл называется Несобственным интегралом от функции, неограниченной на правом конце промежутка интегрирования. Если он существует и конечен, то он называется Сходящимся. Если же не существует или равен +¥ или -¥, то он называется Расходящимся.

В частности, если F(X)≥0 на [A; B) и F(X) ® +¥ При Х ® B, то геометрическую иллюстрацию равенства (6.15) дают рисунки 5.21(а) и 5.21(б):

(6.16)

Таким образом, согласно рис. 5.21(б), - площадь бесконечно протяженной вдоль оси Оу криволинейной трапеции. А она, как и площадь S¥ На рис. 5.15, может оказаться как конечной, так и бесконечной. То есть несобственный интеграл может оказаться как сходящимся, так и расходящимся.

Установить сходимость или расходимость несобственного интеграла можно на основе его прямого вычисления по формуле Ньютона-Лейбница:

(6.17)

Подтвердим это, исходя из определения (6.15):

Пример 10. Вычислить несобственный интеграл .

Решение. Этот интеграл действительно несобственный, так как его подинтегральная функция имеет особую точку , в которой , а значит, в которой функция обращается в бесконечность:

Вычисляя указанный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница (6.17), получим:

Таким образом, данный несобственный интеграл расходится.

Примечание. Мы ввели понятие несобственного интеграла от функции F(X), неограниченной (обращающейся в бесконечность) на правом конце промежутка интегрирования [A; B]. Но этот же интеграл будет несобственным, если F(X) неограничена на левом конце промежутка интегрирования (в точке А), а также в некоторой внутренней его точке С. В последнем случае разбивают на два несобственных интеграла:

(6.18)

Оба эти интеграла с особой точкой на краю промежутка интегрирования можно вычислять по формуле Ньютона-Лейбница.

Пример 11. Вычислив несобственный интеграл , доказать сходимость этого интеграла. Полученному результату дать геометрическую иллюстрацию.

Решение. Данный интеграл действительно несобственный, так как его подинтегральная функция обращается в ¥ в точке Х = 0 (. Вычислим его по формуле Ньютона-Лейбница:

Таким образом сходится. Его геометрическая иллюстрация дана на рис. 5.22.

Заметим, что вопрос о сходимости-расходимости несобственных интегралов от неограниченных функций, как и вопрос о сходимости-расходимости несобственных интегралов с бесконечными пределами интегрирования, совсем не обязательно выяснять, вычисляя эти интегралы. Можно попробовать сравнить данный несобственный интеграл с каким-либо другим с теми же пределами интегрирования.

Пусть, например, Y = F(X) и Y = G(X) – две непрерывные в полуинтервале
[A; B) и неотрицательные функции. И пусть F(X) £ G(X) для всех Х Î [A; B). Пусть, кроме того, F(X) ® +¥ и G(X) ® +¥ При Х ® B (рис. 5.23). Тогда, очевидно,

(6.19)

Из этого неравенства очевидным образом вытекает следующий Признак сравнения:

А) Если = (число)– сходится, то и =(число)– сходится. Б) Если – расходится, то и – расходится

(6.20)

В качестве функции G(X), с которой сравнивают данную функцию F(X), часто используют функцию , учитывая при этом, что

(6.21)

Пример 12. Исследовать на сходимость-расходимость .

Решение. Подинтегральная функция , поэтому данный интеграл является несобственным. При этом очевидно, что для всех Х Î [0; 1)

Но , согласно (6.21), сходится. Поэтому и меньший интеграл сходится. Более того, можем оценить и значение этого интеграла:

.

Впрочем, мы можем вычислить этот интеграл и точно:

X 0 1 T 1 0

Упражнения

1. Прямым вычислением несобственного интеграла исследовать его на сходимость-расходимость.

Ответ: – интеграл сходится.

2. Используя признак сравнения (6.7) и учитывая, что для всех Х Î [1; ¥), исследовать на сходимость интегралы:

А) ; б) .

Ответ: а) сходится; б) расходится.

3. Используя обобщенный признак сравнения (6.9), показать, что из двух несобственных интегралов

А) ; б)

Интеграл (а) расходится, а интеграл (б) сходится.

4. Показать, что при А ¹ 0 и K ¹ 0 сходится абсолютно.

5. Показать, что при любом А > 0 сходится условно.

6. Вычислив несобственный интеграл , подтвердить его сходимость.

7. Вычислив несобственный интеграл , подтвердить его расходимость.

8. Используя признак сравнения (6.20), показать, что несобственный интеграл расходится. Подтвердить это прямым вычислением интеграла.

< Предыдущая		Следующая >