5.20. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования

Пусть Y = F(X) – заданная и непрерывная для всех X ≥ α функция. Тогда для любого B ≥ A существует . Поставим вопрос о пределе этого интеграла при B → ¥.

Определение.

(6.1)

Называется Несобственным интегралом От функции F(X) с бесконечным верхним пределом. Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется Сходящимся. А если же он не существует или равен
± ¥, то этот несобственный интеграл называется Расходящимся.

Если F(X) ≥ 0 для всех X ≥ A, то У несобственного интеграла (6.1) имеется очевидный геометрический смысл, вытекающий из геометрического смысла (4.3) обычного определенного интеграла. Действительно, согласно рис. 5.14

(6.2)

А тогда

 

 

(6.3)

Здесь S¥ - площадь бесконечно протяженной в направлении оси Ох криволинейной трапеции (рис. 5.15). Несмотря на свою бесконечную протяженность, она может оказаться и конечной. Но это может произойти, согласно рис. 5.15, лишь в случае, когда Y =F(X) → 0 при X →¥. Да и то, если функция Y =F(X) → 0 при X → ¥ достаточно быстро.

Пример 1. Найти площадь S¥, изображенную на рис. 5.16.

Решение:

,
так как lnB → ¥ при B → ¥.

Итак, S¥ = ¥. И это несмотря на то, что функция при X → ¥. Несобственный интеграл , а значит, он расходится.

Пример 2. Найти площадь S¥ , изображенную на рис. 5.17.

Решение:

Здесь S¥ = 1. То есть бесконечно протяженная площадь оказалась конечной. Это произошло потому, что подинтегральная функция при X → ¥ достаточно быстро (по крайней мере, гораздо быстрее, чем подинтегральная функция в предыдущем примере). Несобственный интеграл (число), а значит, он сходится.

Пример 3. Выяснить, сходится или расходится несобственный интеграл .

Решение. Вычислим это интеграл:

– не существует. Это очевидно, если вспомнить поведение графика функции Y= = SinX (синусоиды) при X → ¥. Таким образом, не существует, а значит, он расходится. Впрочем, это и не могло быть иначе, ибо подинтегральная функция cosX не стремится к нулю при Х → ¥.

Заметим, что при вычислении несобственных интегралов типа , как и при вычислении обычных определенных интегралов , можно сразу применять формулу Ньютона-Лейбница:

Здесь

(6.4)

Действительно:

Если значение F(¥) существует и конечно, то согласно формуле (6.4) Ньютона-Лейбница сходится и несобственный интеграл .

Примечание. Совершенно аналогично интегралам с бесконечным верхним пределом можно рассматривать несобственные интегралы с бесконечным нижним пределом и даже с обоими бесконечными пределами интегрирования. То есть интегралы вида

(6.5)

Для их вычисления тоже можно применять формулу Ньютона-Лейбница.

Пример 4.

Итак, (число), то есть этот интеграл сходится. Его величина π равна площади S¥ бесконечно протяженной в обе стороны фигуры, изображенной на рис. 5.18.

Заметим, что сам факт сходимости-расходимости несобственных интегралов с бесконечными пределами интегрирования не обязательно устанавливать с помощью прямого вычисления этих интегралов. Это вопрос часто можно решить и гораздо проще, сравнив данный несобственный интеграл с каким-либо другим, для которого сходимость-расходимость уже установлена.

 

 

 

 

Пусть, например, для всех имеет место неравенство F(X)£ G(X), Где Y = F(X) И Y = G(X) – Две непрерывные и неотрицательные функции (рис. 5.19). Тогда очевидно, что

(6.6)

Из неравенства (6.6) и рис. 5.19 очевидным образом следует так называемый Признак сравнения несобственных интегралов:

1) Если (число) - сходится, то и (число) - сходится, причем B<A. 2) Если - расходится, то и - расходится. 3) Если - расходится, то - об этом интеграле ничего сказать нельзя. 4) Если (число) - сходится, то - об этом интеграле ничего сказать нельзя.

(6.7)

В качестве функции G(X), с которой на промежутке Сравнивают данную функцию F(X), часто используют функцию , а в качестве интеграла сравнения – интеграл , учитывая при этом, что при A > 0 и любых α функция - положительная и непрерывная функция, и что

(6.8)

Пример 5. Исследовать на сходимость-расходимость

Решение. Очевидно, что для всех X Î [2; ¥). Поэтому

.

Но согласно (6.8) интеграл сходится. Поэтому, по признаку сравнения, сходится и (он представляет собой некоторой конкретное число). Более того, предыдущее неравенство дает и оценку этого числа: так как, согласно (6.8), , то

.

Пример 6. Исследовать на сходимость-расходимость .

Решение. Очевидно, что

для всех X Î [3; ¥).

Следовательно,

.

Но последний интеграл равен ¥. Следовательно, равен ¥ и . То есть он расходится.

Примечание. Справедлив и более сильный (обобщенный) признак сравнения, который применим для любых непрерывных и неотрицательных на
[A; ¥) функций. А именно, если

,

(6.9)

То есть если F(X) эквивалентна G(X) (F(X) ~ G(X)) при Х ® ¥, то несобственные интегралы

Сходятся или расходятся одновременно.

Пример 2. Исследовать на сходимость-расходимость .

Решение. Исследовав функцию , легко показать, что она определена, а следовательно и непрерывна для всех Х Î [10; ¥). При этом

Но, согласно (6.8), сходится. Поэтому и сходится.

Теперь перейдем к более сложному случаю несобственных интегралов с бесконечными пределами интегрирования, когда подинтегральная функция знакопеременна на своей области интегрирования (рис. 5.20). Тогда

(6.10)

Где А>0 – сумма площадей, находящихся над осью Ох, а В>0 – сумма площадей, находящихся под осью Ох.

Рассмотрим еще один несобственный интеграл, только уже от |F(X)|:

(6.11)

А) Допустим, что сходится. Тогда А + В – Конечное положительное число. А значит, и его положительные слагаемые А и В – Конечные положительные числа. Но тогда и их разность А – В – Конечное число (его знак может быть любым). А значит, согласно (6.10), несобственный интеграл сходится.

Б) Допустим, что расходится (равен +¥). Тогда сумма А +В = +¥, а значит, или А, или В, или оба они одновременно равны +¥. Но их разность А – В может оказаться как бесконечной, так и конечной. То есть может как сходиться, так и расходиться.

Если сходится, и при этом сходится, то говорят, что Сходится абсолютно. Величину абсолютно сходящегося несобственного интеграла можно и оценить:

(6.12)

Действительно, неравенство (6.12) равносильно очевидному неравенству

(6.13)

А если сходится, но при этом расходится, то говорят, что Сходится условно.

Пример 8. Показать, что сходится, причем абсолютно.

Решение. Рассматривая и используя признак сравнения (6.7), получаем:

Таким образом, сходится. Но тогда и сходится, причем абсолютно. Более того, мы можем произвести, используя неравенство (6.12), оценку этого интеграла:

То есть абсолютная величина интеграла заключена в пределах
[0; 1].

Пример 9. Доказать, что сходится, но условно.

Решение. Применим к этому интегралу формулу (5.5) интегрирования по частям:

Интеграл , как и рассмотренный в примере 8 интеграл , сходится. А значит, сходится и . Но сходится он условно, ибо (расходится).

Действительно, так как для всех Х, то для всех Х. А значит

Но

Последний интеграл , как и аналогичные интегралы и , сходится (это можно подтвердить интегрированием по частям). То есть - число. А значит, (расходится). Но тогда и бóльший интеграл (расходится). То есть сходится, но условно.

< Предыдущая		Следующая >