5.15. Свойства определенных интегралов

1) – число

(4.8)

(число А может быть любого знака).

2)

(4.9)

(переменную интегрирования в определенном интеграле можно обозначить как угодно – результат не изменится).

3)

(4.10)

(ибо если перемещение точки отсутствует, то работа любой силы F(X) равна нулю).

4)

(4.11)

(ибо если сила отсутствует, то и работа отсутствует).

5)

(4.12)

(ибо работа постоянной единичной силы численно равна перемещению точки под действием этой силы).

6)

(4.13)

7)

(4.14)

8) (4.15)

9)

(4.16)

10) Если f(x) ≤ g(x) для всех xÎ[a; b], то

(4.17)

(физический смысл последних пяти свойств продумать самостоятельно).

11) Пусть M = [F(X)]Наим И М = [F(X)]Наиб – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции F(X) на промежутке [A; B]. Тогда

(4.18)

Действительно, так как M ≤ F(X)≤ M для всех XÎ [A; B], то применяя свойство (4.17) и затем свойства (4.16) и (4.12), мы и получим двойное неравенство (4.18). Это неравенство часто используется для прикидки (Грубой оценки) величины .

Пример 1. Оценить величину .

Решение. Так как функция монотонно возрастает на отрезке [1; 3], то Поэтому по формуле грубой оценки (4.18) получаем:

Пример 2. Оценить величину .

Решение. Минимальное M и максимальное M значения функции на промежутке [0; p] не очевидны, так как с возрастанием Х в выражении X + Cos X первое слагаемое растет, а второе убывает. Чтобы разобраться в поведении функции Y, найдем ее производную:

.

Так как Sin X ≤ 1 для всех Х, то для всех Х. А значит, функция убывает на всей области своего определения, в том числе и на отрезке [0; p]. Таким образом, на отрезке [0; p]

Следовательно, оценка (4.18) для данного интеграла имеет вид:

< Предыдущая		Следующая >